利用无约束与约束帕累托前沿关系的约束多目标优化算法-URCMO

利用无约束与约束帕累托前沿关系的约束多目标优化算法

引言

约束多目标优化问题（CMOPs）在工程和科学领域广泛存在，其核心挑战在于如何平衡目标优化与约束满足。传统方法如基于惩罚函数、约束支配原则等，在处理复杂约束时往往效率不足。本文介绍了一种新型算法URCMO，通过分析无约束帕累托前沿（UPF）与约束帕累托前沿（CPF）的关系，显著提升了算法在复杂约束下的搜索效率。

核心方法

问题定义

CMOP的数学模型可表示为：
$$\{\begin{array}{l}\min f(x)=(f_1(x),f_2(x),\dots ,f_M(x))\\ \text{s.t.}{g}_n(x)\le 0(n=1,\dots ,l),h_n(x)=0(n=l+1,\dots ,q)\end{array}$$
其中，$x$为决策变量，$f$为目标函数，$g$和$h$分别为不等式和等式约束。

URCMO算法框架

URCMO将进化过程分为学习阶段和进化阶段，通过两个种群分别逼近CPF和UPF。算法流程如下：

初始化种群P1（CPF）和P2（UPF）
while 未达最大评估次数:
    if 处于学习阶段:
        使用GA和DE生成子群
        合并种群并选择最优个体
    else:
        分类CPF与UPF关系
        根据关系调整P2的进化策略

学习阶段策略

1. 双种群进化：

   • GA操作：使用模拟二进制交叉（SBX）和多项式变异（PM）：
     $$u_j=\{\begin{array}{ll}{\left(2\alpha -{\alpha }^2\right)}^{1/\eta }\cdot (x_{j,a}-x_{j,b})+x_{j,b}& \text{if }\alpha \le 1\\ {\left(2-2\alpha +{\alpha }^2\right)}^{-1/\eta }\cdot (x_{j,a}-x_{j,b})+x_{j,b}& \text{otherwise}\end{array}$$
   • DE操作：采用DE/current-to-rand/1变异策略：
     $$v_i=x_i+F\cdot (x_r-x_{r^{\prime }})$$

2. 环境选择：基于SPEA2的适应度分配和截断策略。

关系分类方法

通过可行性信息和支配关系将问题分为四类（图1）：

1. 类型I：UPF与CPF完全重合
2. 类型II：UPF包含完整CPF
3. 类型III：UPF包含部分CPF
4. 类型IV：UPF与CPF无交集
   

分类公式为：
$$\text{Type}=\{\begin{array}{ll}\text{I}& \text{若}{P}_2^1\text{全可行}\\ \text{IV}& \text{若}{P}_2^1\text{全不可行}\\ \text{II/III}& \text{否则，通过支配比例判断}\end{array}$$

进化阶段策略

根据分类结果调整P2的进化策略：

• 类型I/II：使用GA和DE/transfer/1（交叉概率CR=0.1~1.0）
• 类型I’/II’/IV：采用DE/current-to-opbest/1：
  $$v_i=x_i+F\cdot (x_{\text{opbest}}-x_i)+F\cdot (x_{r2}-x_{r3})$$
• 类型III：混合使用三种策略（GA、DE/transfer/1、DE/current-to-opbest/1）

实验与结果

在65个基准函数和10个实际问题上的实验表明，URCMO在收敛性（IGD指标）和多样性（HV指标）上均优于现有算法（表1）。例如：

• 在LIR-CMOP2（类型IV）上，URCMO的IGD值比CCMO降低42%
• 在复杂约束的DOC问题中，URCMO的可行解获取率达96.7%

结论与展望

URCMO通过动态利用UPF与CPF的关系，显著提升了约束多目标优化的性能。未来研究可探索：

1. 复杂约束下的自适应性策略
2. 多目标优化中的高维问题扩展
3. 结合机器学习的关系预测模型

引用：
Liang J, Qiao K, Yu K, et al. Utilizing the Relationship Between Unconstrained and Constrained Pareto Fronts for Constrained Multiobjective Optimization[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2023, 53(6): 3873-3886.