【算法·命运-36】prim算法

最新推荐文章于 2025-03-24 14:38:50 发布

超华东算法王

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分类专栏：算法·命运文章标签：算法

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Prim 算法（Prim's Algorithm）

Prim 算法 是一种 贪心算法，用于计算 加权无向图 的 最小生成树（MST）。最小生成树是一个包含图中所有节点的树，且其边的权重和最小。

Prim 算法的基本思想：

从图中的一个节点开始，逐步扩展最小生成树（MST），每次选择与已经生成树相连的、权重最小的边。
算法不断地将图中的未访问节点添加到树中，直到所有节点都包含在生成树中为止。
在每一步，算法都会选择与已经包含在生成树中的节点集合相连接的、权值最小的边。

算法步骤：

初始化：选择一个起始节点，将其加入到生成树中。此时，生成树包含的节点数为 1。
维护一个优先队列（最小堆）：优先队列用于存储从当前生成树中已加入的节点到未加入节点的边，并根据边的权重进行排序，始终取出最小权重的边。
逐步扩展生成树：
- 从优先队列中取出一条权重最小的边（假设连接的两个节点分别是 u 和 v），将节点 v 加入生成树。
- 将从新加入的节点 v 出发且未被访问过的边加入优先队列。
重复以上过程，直到所有节点都被加入生成树中。

Prim 算法的时间复杂度：

使用邻接矩阵表示图时，时间复杂度为 O(V²)，其中 V 是图中的节点数。
使用邻接表和 最小堆（优先队列）时，时间复杂度为 O(E log V)，其中 E 是图中的边数。

算法特点：

贪心策略：每一步都选择当前最小的边，确保能够得到全局最优解。
适用于稠密图：当图的边数较多时，Prim 算法通常比 Kruskal 算法更有效。
不需要对图进行排序：与 Kruskal 算法不同，Prim 算法不需要对所有边进行排序，直接通过优先队列动态选择边。

Prim 算法的实现（Python）：

我们将图表示为邻接表，并使用 Python 的 heapq 库实现优先队列。

import heapq

def prim(graph, V):
    # 初始化数据
    mst_cost = 0  # 最小生成树的总权重
    visited = [False] * V  # 标记哪些节点已经在生成树中
    min_heap = [(0, 0)]  # 最小堆，初始化时从节点 0 开始，权重为 0
    edges_in_mst = []  # 存储最小生成树的边
    
    while min_heap:
        weight, u = heapq.heappop(min_heap)  # 获取最小权重的边
        if visited[u]:  # 如果节点已经在生成树中，则跳过
            continue
        visited[u] = True  # 将节点 u 加入生成树
        mst_cost += weight  # 累加边的权重
        for v, w in graph[u]:  # 遍历与 u 相连的所有邻接节点
            if not visited[v]:  # 如果邻接节点 v 不在生成树中
                heapq.heappush(min_heap, (w, v))  # 将 v 加入最小堆
                
        edges_in_mst.append((u, v, weight))  # 记录生成树中的边
        
    return mst_cost, edges_in_mst

# 示例图：邻接表表示，graph[u] = [(v1, w1), (v2, w2), ...]
graph = {
    0: [(1, 1), (2, 4), (3, 3)],
    1: [(0, 1), (2, 2), (3, 5)],
    2: [(0, 4), (1, 2), (3, 1)],
    3: [(0, 3), (1, 5), (2, 1)]
}

V = 4  # 节点数
mst_cost, edges_in_mst = prim(graph, V)
print("Minimum cost of the MST:", mst_cost)
print("Edges in the MST:", edges_in_mst)

示例解释：

图的表示：使用邻接表表示图，其中 graph[u] = [(v1, w1), (v2, w2), ...] 表示从节点 u 出发的边及其权重。例如，(1, 1) 表示从节点 0 到节点 1 的边的权重为 1。
最小堆：优先队列（最小堆）用于每次选择权重最小的边，并确保优先选择最小的边来扩展生成树。
最终输出：
- mst_cost：最小生成树的总权重。
- edges_in_mst：最小生成树中的边。