常用数据结构——差分前缀和原理及常见用法详解（c++,python，附例题、代码）

最新推荐文章于 2025-04-30 22:11:59 发布

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：数据结构 c++ python 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xiaoyuuoo/article/details/145717787

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差分与前缀和作为常见的数据结构，经常用来处理区间变化的问题。前缀和与哈希表、差分而前缀和这两种搭配经常一起出现。

前缀和

前缀和原理

前缀和，即前i项和。当我们得到一个数组nums，假设数组prefix[i]表示nums数组中的前i项和，于是有：

prefix[0]=nums[0]

prefix[1]=nums[0]+nums[1]=prefix[0]+nums[1]

prefix[2]=nums[0]+nums[1]+nums[2]=prefix[1]+nums[2]

……

prefix[n]=prefix[n-1]+nums[n]

数组prefix就是数组nums的前缀和。

前缀和有什么用呢？

在处理区间问题时，我们可以通过在前缀和数组上做减法，很容易的得到特定区间的总和,如：

prefix[5]=nums[0]+nums[1]+……nums[5]

prefix[10]=nums[0]+nums[1]+……nums[10]

prefix[10]-prefix[5]=nums[6]+nums[7]+……+nums[10]

依据前缀和的这个特性，在一些情境下，前缀和能把复杂的问题简单化。

接下来会以例题的形式，介绍几种前缀和常见的用法。

简单的一维前缀和

题目来源：1749. 任意子数组和的绝对值的最大值 - 力扣（LeetCode）

题目：

给你一个整数数组 nums。一个子数组 [nums[l], nums[l+1], ..., nums[r-1], nums[r] 的和的绝对值为 abs(nums[l] + nums[l+1] + ... + nums[r-1] + nums[r]) 。

请你找出 nums 中和的绝对值最大的任意子数组（可能为空），并返回该最大值。

示例 1：

输入：nums = [1,-3,2,3,-4]

输出：5

解释：子数组 [2,3] 和的绝对值最大，为 abs(2+3) = abs(5) = 5 。

示例 2：

输入：nums = [2,-5,1,-4,3,-2]

输出：8

解释：子数组 [-5,1,-4] 和的绝对值最大，为 abs(-5+1-4) = abs(-8) = 8 。

解题思路：

这是一道典型的前缀和，题干要求某个区间的和，使得该区间的和绝对值最大。我们可以建立一个前缀和数组prefix，再通过遍历prefix数组，下标位置靠后的元素减去下标靠前的元素，得到区间的和。

Code:

int maxAbsoluteSum(vector<int>& nums) {
    int n=nums.size();
    vector<int>prefix(n+1);
    for(int i=0;i<n;i++){
        prefix[i+1]=prefix[i]+nums[i];
    }
    int mx=0,mn=0,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int tmp=max(abs(prefix[i]-mx),abs(prefix[i]-mn));
        ans=max(ans,tmp);
        mx=max(mx,prefix[i]);
        mn=min(mn,prefix[i]);
    }
    return ans;
}

def maxAbsoluteSum(self, nums: List[int]) -> int:
    ans=mn=mx=0
    for x in nums:
        mn=min(mn,0)+x
        mx=max(mx,0)+x
        ans=max(ans,mx,-mn)
    return ans