C++（进阶) 第6章红⿊树实现树的实现

已于 2025-01-25 03:23:18 修改
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于 2025-01-25 02:41:28 首次发布
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C++（进阶) 第6章红⿊树实现树的实现

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前言

上一篇介绍了avl树这一篇介绍avl树的兄弟红黑树也是搜索树

AVL->严格平衡
红黑树->近似平衡

一、 红⿊树的概念

红⿊树是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。

1.1 红⿊树的规则：

  1. 每个结点不是红⾊就是⿊⾊
  2. 根结点是⿊⾊的
  3. 如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点。
  4. 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点说明：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道⼀下这个概念即可。
    在这里插入图片描述

1.2 红⿊树的效率：

在这里插入图片描述
对于cpu那么高速的来说，logn和2logn实际上是没有什么区别的

对于搜索来说，AVL的搜索效率是高于红黑树的，因为avl树是绝对平衡的也就是高度是会比红黑树根小的，但是是插入来说红黑树又会比avl树更牛逼一点，avl是靠不断的旋转来保持高度，所以这里就会有消耗，所以这里插入的速度就会略逊红黑树,红黑树只是相对平衡

二、红黑树实现

2.1 红⿊树的结构

// 枚举值表⽰颜⾊
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};
// 这⾥我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
// 这⾥更新控制平衡也要加⼊parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
	:_kv(kv)
	, _left(nullptr)
	, _right(nullptr)
	, _parent(nullptr)
	{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
	public:
	private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2 红⿊树的插⼊

2.2.1 红⿊树树插⼊⼀个值的⼤概过程

  1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。
  2. 如果是空树插⼊，新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树
    插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
  3. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束
  4. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。进⼀步分析，c是
    红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下⼏种
    情况分别处理。
    说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为
    g(grandfather)，p的兄弟标识为u（uncle）

2.2.2 情况1：变⾊

c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。
分析：因为p和u都是红⾊，g是⿊⾊，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个⿊⾊结点，g再变红，相
当于保持g所在⼦树的⿊⾊结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新
是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束
了；如果g就是整棵树的根，再把g变回⿊⾊。
情况1只变⾊，不旋转。所以⽆论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上⾯的变⾊处理⽅式。

在这里插入图片描述
跟AVL树类似，图0我们展⽰了⼀种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。
• 图1将以上类似的处理进⾏了抽象表达，d/e/f代表每条路径拥有hb个⿊⾊结点的⼦树，a/b代表每
条路径拥有hb-1个⿊⾊结点的根为红的⼦树，hb>=0。
• 图2/图3/图4，分别展⽰了hb == 0/hb == 1/hb == 2的具体情况组合分析，当hb等于2时，这⾥组合
情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，多么复杂，处理⽅式⼀样的，变⾊再
继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可
在这里插入图片描述
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2.2.3 情况2：单旋+变⾊

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则
c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上
来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解
决问题，需要旋转+变⾊。
g
p u
c
如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
g
u p
c
如果p是g的右，c是p的右，那么以g为旋转点进⾏左旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是⿊
⾊还是红⾊或者空都不违反规则。

在这里插入图片描述

2.2.4 情况2：双旋+变⾊

c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则
c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上
来的。
分析：p必须变⿊，才能解决，连续红⾊结点的问题，u不存在或者是⿊⾊的，这⾥单纯的变⾊⽆法解
决问题，需要旋转+变⾊。
g
p u
c
如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变
⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且
不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
g
u p
c
如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进⾏右单旋，再以g为旋转点进⾏左单旋，再把c变
⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且
不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则

在这里插入图片描述

2.3 红⿊树的插⼊代码实现

// 旋转代码的实现跟AVL树是⼀样的，只是不需要更新平衡因⼦
 bool Insert(const pair<K, V>& kv)
 {
 	if (_root == nullptr)
	 {
 		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
		parent = cur;
		cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
// 新增结点。颜⾊红⾊给红⾊
	cur->_col = RED;
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		// g
		// p u
		if (parent == grandfather->_left)
		{
		Node* uncle = grandfather->_right;
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			// u存在且为红 -》变⾊再继续往上处理
			parent->_col = uncle->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
			cur = grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
	    else
		{
			// u存在且为⿊或不存在 -》旋转+变⾊
			if (cur == parent->_left)
		{
			// g
			// p u
			//c
			//单旋
		RotateR(grandfather);
		parent->_col = BLACK;
		grandfather->_col = RED;
		}
		else
		{
			// g
			// p u
			// c
			//双旋
			RotateL(parent);
			RotateR(grandfather);
			cur->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
		}
	break;
	}
}
	else
	{
	// g
	// u p
	Node* uncle = grandfather->_left;
	// 叔叔存在且为红，-》变⾊即可
	if (uncle && uncle->_col == RED)
	{
		parent->_col = uncle->_col = BLACK;
		grandfather->_col = RED;
		// 继续往上处理
	cur = grandfather;
	parent = cur->_parent;
	}
	else // 叔叔不存在，或者存在且为⿊
	{
		// 情况⼆：叔叔不存在或者存在且为⿊
		// 旋转+变⾊
		// g
		// u p
		// c
	if (cur == parent->_right)
	{
		RotateL(grandfather);
		parent->_col = BLACK;
		grandfather->_col = RED;
	}
	else
	{
		// g
		// u p
		// c
		RotateR(parent);
		RotateL(grandfather);
		cur->_col = BLACK;
		grandfather->_col = RED;
	}
	break;
		}
		}
	}
	_root->_col = BLACK;
	return true;
}

2.4 红⿊树的查找

按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;

	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
		cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

2.5 红⿊树的验证

这⾥获取最⻓路径和最短路径，检查最⻓路径不超过最短路径的2倍是不可⾏的，因为就算满⾜这个条
件，红⿊树也可能颜⾊不满⾜规则，当前暂时没出问题，后续继续插⼊还是会出问题的。所以我们还
是去检查4点规则，满⾜这4点规则，⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。

  1. 规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。
  2. 规则2直接检查根即可
  3. 规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检
    查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。
  4. 规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到
    ⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点
    数量作为参考值，依次⽐较即可。

在这里插入图片描述

#include <iostream>

// 假设 Node 结构体定义如下
struct Node {
    // 假设存储键值对
    std::pair<int, int> _kv; 
    // 节点颜色，RED 或 BLACK
    bool _col; 
    Node* _left;
    Node* _right;
    Node* _parent;
    Node(const std::pair<int, int>& kv) : _kv(kv), _col(false), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr) {}
};

class RBTree {
private:
    Node* _root;
    bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) {
        if (root == nullptr) {
            // 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
            // cout << blackNum << endl;
            if (refNum != blackNum) {
                std::cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << std::endl;
                return false;
            }
            return true;
        }

        // 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
        if (root->_col == false && root->_parent && root->_parent->_col == false) {
            std::cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << std::endl;
            return false;
        }

        if (root->_col == true) {
            blackNum++;
        }

        return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
    }

public:
    RBTree() : _root(nullptr) {}

    bool IsBalance() {
        if (_root == nullptr) {
            return true;
        }

        if (_root->_col == false) {
            return false;
        }

        // 参考值
        int refNum = 0;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_col == true) {
                ++refNum;
            }
            cur = cur->_left;
        }

        return Check(_root, 0, refNum);
    }
};

总结

太难了！！！

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