LWE误差还原问题

已于 2023-04-12 21:29:29 修改
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分类专栏： 同态加密 文章标签： 线性代数 同态加密
于 2023-04-12 21:23:51 首次发布
原文链接：https://www.zhihu.com/search?type=content&q=LWE
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LWE

基于CVP问题
（最近向量问题：在一个足够复杂维度的空间里，CVP问题是非常难解决的（NP-hard）！也就是说，给定一组基向量bi，和一个目标向量v，我们很难有效的找到一组整数线性组合c_i，使得v′←∑ci⋅bi所组成的向量v′距离我们的目标最近。）
衍生出我们所需要了解的LWE问题。

高斯消除法

一般我们求解Ax=b线性方程组的方法，给定一个矩阵
和一个向量，采用高斯消除法即可。在这里插入图片描述

加入噪音------误差还原问题（LWE）

这个问题就变成了已知一个矩阵A，和它与一个向量x相乘得到的乘积再加上一定的误差（error）e，即Ax + e，如何有效的还原（learn）未知的向量。我们把这一类的问题统称为误差还原（Learning With Error， LWE）问题。

Search LWE Problem

在这里插入图片描述
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Public Key Cryptography文章分类总结（ PKC 2022）
dedanddwb的博客
08-12 570
可追踪密码学的目标是将身份标识嵌入到加密对象中，如加密方案中的解密密钥或签名方案中的签名密钥，并确保任何成功复制了这些功能的“盗版设备”都可以被追踪到用于构建该设备的一系列身份标识。文章提出了一种新的恶意安全多方计算（MPC）构造，它在公共随机串（CRS）模型中只需要两轮通信，并且第一轮的消息可以被重用，不受计算电路大小的限制。这需要一种特殊的承诺方案（Commitment Scheme），即部分可解密的承诺（VPDC），它允许一个可信的第三方在必要时撤销交易的匿名性，同时保持其他方的隐私。
CHES 2022 issue-4文章总结
dedanddwb的博客
07-26 498
来源：https://ches.iacr.org/2022/acceptedpapers.php。
【LWE问题简介】
qq_44925830的博客
08-11 6958
容错学习(learning with errors, LWE)问题就是求解带噪声的线性方程组问题, 由Oded Regev在[Reg05] 中提出, 他也因此结果荣获2018年的哥德尔奖. LWE问题的困难性基于的复杂性假设非常弱, 但是功能却异常强大, 由于LWE问题尚无有效的量子求解算法, 因此基于LWE假设的加密方案被认为是抗量子的....
容错学习问题（LWE）
watqw的博客
01-26 3950
所谓容错学习问题是指：已知和，求出​​​​​​​，未知的n维向量，有成立，其中每个是从高斯分布（也可以是其他分布）中独立采样的随机数。
【转载】LWE问题简介
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12-01 1084
LWE问题
LWE和RLWE问题学习
Amire0x的小乐园
10-06 9492
LWE问题了解
基于格密码的LWE问题
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04-22 4018
LWE问题， Learning With Errors，带有安全性证明的第一个版本是由Oded Regev 在2005年提出，Kawachi等给出了效率的改进，接着一些效率方面非常重要的改进由Peikert等提出。
随笔--格（Lattice）学习（更新中）
m0_47659650的博客
05-25 1567
格（Lattice ）的概念最早在1890年由E.Schroder提出。实际上早在 1854 年，George Boole 在数学逻辑的相关研究中引入了一类代数结构–布尔代数。而布尔代数就是“格”的一种特殊类型。后来，R. Dedekind 在关于群的相关工作中，也提出了类似“格”的概念并在实际应用中起了非常重要作用。在1930 年，G. Birkhoff 对“格”理论做出了重要贡献，“格”理论开始了快速发展。
基于PLWE的有损活板门函数研究与应用
"这篇研究论文探讨了基于多项式学习与误差问题（PLWE）的有损活板门函数。文章作者包括Chengli Zhang、Wenping Ma、Hefeng Chen和Feifei Zhao，发表在《Cluster Computing》期刊上，由Springer Science+Business ...
BGV算法
最新发布
03-15
BGV（Brakerski-Gentry-Vaikuntanathan）是一种基于格理论的全同态加密方案，其安全性依赖于学习错误问题（Learning With Errors, LWE）。该算法通过引入模数切换技术来减少噪声增长，从而支持更多的同态操作[^1]。 ...
LWE问题求解策略
weixin_44885334的博客
02-15 1399
LWE问题 LWE分布Ls,χL_{s,\chi}Ls,χ​：选定秘密向量s∈Zqns \in Z_q^ns∈Zqn​，随机均匀地选择a∈Zqna \in Z_q^na∈Zqn​，从离散高斯分布中选择e←χe \leftarrow \chie←χ，输出：(a,b=<a,s>+e  mod q)∈Zqn×Zq(a,b=<a,s>+e\,\,mod\,q) \in Z_q^n \times Z_q(a,b=<a,s>+emodq)∈Zqn​×Zq​ 对于mmm个LWE样本，可
格密码基础：详解LWE问题
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01-19 5047
Learning With Errors 简称 LWE，通常翻译为容错学习问题。在2005年，Regev首次提出了平均情况下的LWE问题。类似SIS问题，LWE也可以用来实现加密。这两类问题实际上互为对偶（dual）关系。接下来我们将介绍LWE的困难性以及基于LWE的密码系统。进阶的内容则包含LWE最坏情况的困难性，以及search和decision版本之间的归约。格密码基础：SIS问题的定义与理解-优快云博客。
格密码基础：详解LWE问题（2）
forest_LL的博客
01-21 1584
忽略样本数m的变化，借助基本的经典归约，在网络安全领域，decision LWE问题的困难性与search-LWE问题的困难性是类似的，当然此步的归约过程一般是多项式尺寸的模q=poly(n)。通过标准式的格式，我们发现LWE与SIS的标准型很类似，通常来讲，我们会把SIS函数看成满射(surjective)的单向函数，LWE看成单射（injective）的单向函数。借助LWE的oracle，利用多项式时间的量子归约算法可解决最坏情况下的近似GapSVP和SIVP问题。
LWE求解算法
weixin_44885334的博客
03-22 1220
问题转换 搜索版本的LWE问题(A,b=As+e)←Ls,χ(A,b=As+e)\leftarrow L_{s,\chi}(A,b=As+e)←Ls,χ​， 等价于格L={Azmod  q∣z∈Zqn}L=\{Az \mod q | z\in Z^n_q\}L={Azmodq∣z∈Zqn​}上的BDD问题。因为模qqq，所以格基是{A1,A2,⋯ ,An,q⋅e1,q⋅e2,⋯ ,q⋅en}\{A_1,A_2,\cdots,A_n, q \cdot e_1,q \cdot e_2, \cdots, q
LWE详细介绍
qq_53809201的博客
11-23 1050
LWE问题可以形式化定义如下：给定一个格Λ\LambdaΛ（由矩阵AAA生成），一个秘密向量s∈Zqns∈Zqn​（其中qqq是一个整数模数，nnn是向量的维度），以及一个噪声分布χ\chiχ（通常是高斯分布），LWE问题的目标是，给定多项式个数对aibi(a_i, b_i)ai​bi​，其中aia_iai​是从ZqnZqn​中随机选择的，biai⋅seimodqbi​ai​⋅s。
格密码：LWE设计公钥密码系统
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12-20 2400
在格密码中，LWE(Learning With Errors)问题非常重要，本文章将介绍一些基于LWE设计的公钥密码方案，并详细讨论这些方案是如何运行的。这些方案讲重点关注IND-CPA安全（不可区分性-选择明文攻击安全）。IND-CPA安全简单来讲就是，窃听者获得公钥和密文，不会学习到关于明文的任何信息。基于LWE问题也可以用来设计全同态加密，此处就不作过多拓展。
【格密码基础】基于LWE问题的密码系统
forest_LL的博客
01-26 1784
在2005年，Regev基于LWE问题提出了一个新的公钥密码方案。该方案可实现语义安全（semantic security），其中误差率（error rate）为：其安全性可利用量子算法归约到近似GapSVP和SIVP问题，其中近似因子取：该方案借鉴了两个工作，一个是1997年Ajtai-Dwork的工作，一个是2003年Regev的工作。但相比之下有两大优点比较突出。优点1：一般性（generality）该方案依赖的最坏（worst case）情况是近似GapSVP和近似SIVP问题。
【密码学基础】基于LWE（Learning with Errors）的全同态加密方案
我的技术栈碎碎念空间
07-08 1749
sk和pk相乘得到2e（KeyGen时满足的条件），然后和r做内积得到一个很小的偶数噪声，最终的结果就是m+很小的偶数噪声，于是通过mod 2就能将噪声消除，得到解密结果m。到这里，通过LWE实现了很小深度的同态乘法和加法计算，key switching则是对每层用新的密钥，但是随着计算深度加深，噪声的扩大是爆炸性的，因此还不是一个levelled FHE（能计算指定深度的FHE）。）时，pk和pk乘r都是伪随机的。加密用的公钥pk，r是一个只包含0或1的随机向量，m是待加密的信息（放在向量的最低位上）。
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03-08 4637
被喻为“重要数据保险箱”的安全芯片已经渗入人们生活的方方面面。随着5G、物联网、车联网的迅速发展，为安全芯片开启了新的应用场景，同时也带来了新的挑战。 本文将带大家深入了解安全芯片的核心，后量子密码认证技术。 安全认证技术概述 安全认证技术是防止信息被篡改、删除、重放和伪造的一种有效方法。它使接收者能够识别和确认消息的来源和真伪。目前认证技术主要有4种： （1）数字摘要 （2）数字摘要+对称密钥认证 （3）数字摘要+非对称密钥认证 （4）数字证书认证 不过随着量子计算机的发展，现有的绝大多数
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