动态规划背包问题——01背包

最新推荐文章于 2024-11-13 15:12:09 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：动态规划算法 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_64874757/article/details/125902431

本文介绍了如何使用动态规划解决0-1背包问题，即在不超过背包容量的前提下，选择物品以最大化总价值。通过二维数组dp表示在考虑前i个物品时，背包容量不超过j的最大价值。通过滚动数组优化空间复杂度，并给出了一道具体的实例，展示了解决此类问题的C++代码模板。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2022.7.20
题意概要：有n个物品和一个容量为p的背包，每个物品有重量w和价值v两种属性，要求选若干物品放入背包使背包中物品的总价值最大且背包中物品的总重量不超过背包的容量。

在上述例题中，由于每个物体只有两种可能的状态（取与不取），对应二进制中的0和1，这类问题便被称为「0-1 背包问题」。

我们用二维数组dp[i][j]表示只放前i个物品时，背包容量不超过j时的最大价值。可以列出动态转移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。

for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=p;j>=w[i];j--){
			dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		}
	}

但开dp[n][p]的空间会MLE，所以我们要使用滚动数组，得出动态转移方程，删减掉一维，保留对dp[i][j]有影响的i（物品数量）dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])。

前i-1个物品	第i个物品
j-w[i]	v[i]

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=p;j>=w[i];j--){
		f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
	}
}

注意，我们是从后往前遍历的，因为对于当前处理的物品i和当前状态dp[i][j]，在j>=w[i]时，dp[i][j]是会被dp[i][j-w[i]]所影响的。这就相当于物品可以多次被放入背包，与题意不符。为了避免这种情况发生，我们可以改变枚举的顺序，从p枚举到w[i]，这样就不会出现上述的错误，因为dp[i][j]总是在dp[i][j-w[i]]前被更新。

真题演练：（信息学奥赛一本通 1267：【例9.11】01背包问题）

题目描述：

一个旅行者有一个最多能装 MM 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为C1,C2,...,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

输入格式：

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；第2..N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

输入样例：

输出样例：

思路：

这是一道模板题。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int p,n,w[40],c[40],f[400];
signed main(){
	cin >>p>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >>w[i]>>c[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=p;j>=w[i];j--){
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
	}
	cout <<f[p];
	return 0;
}