[LCA] 最近公共祖先

题目描述

给你一棵有根树，要求你计算出指定两个结点的最近公共祖先。

输入格式

第一行为结点个数 $n$，结点编号为 $1$ 到 $n$。
接下来 $n-1$ 行，每行两个整数，表示第一个结点是第二个结点的父亲。
接下来的一行为两个整数 $a$ 和 $b$，要求计算出结点 $a$ 和 $b$ 的最近公共祖先。

输出格式

一行一个整数为最近公共祖先的编号。

样例

样例输入1：

5
2 3
3 4
3 1
1 5
3 5

样例输出1：

3

数据范围

$2\le n\le 5\times 10^5$

题解

这是一道经典的模板题。

如果我们直接去暴力枚举每个点进行判断，复杂度很高。

改进算法，从两个点开始，直接向上跳，如果跳到相等的数，就碰到祖先了。
先用 dfs 将两个点的深度求出来，跳到同一高度（如果两个点不在同一深度，不可能相等）。
如果在这个深度两个点已经相等，此时该点为最近公共祖先。
接下来向上跳，跳到碰到相等的数停下，此时该点就为最近公共祖先。
单次询问复杂度为 $\Theta (dep)$（$dep$ 为深度）。

int t1 = dep[x], t2 = dep[y];//x, y 的深度
if(t1 < t2){//保持 t1 深度大
	swap(t1, t2);
	swap(x, y);
}
//跳到同一高度
while(t1 > t2){
	x = fa[x];
	-- t1;
}
if(x == y){
	printf("%d", x);
	continue;
}
while(t1){
	x = fa[x];
	y = fa[y];
	if(x == y){//相等，找到了最近公共祖先
		printf("%d\n", x);
		break;
	}
	-- t1;
}

考虑使用倍增进行优化。
预处理：
设 $f_{i,j}$ 表示第 $i$ 个点，向上跳 $2^j$ 步，来到第 $f_{i,j}$ 个点。
显然，$f_{i,0}$ 就是第 $i$ 个点的父亲。
接下来进行合并，$f_{i,j}=f[f_{i,j-1},j]$（从第 $i$ 个点，先跳 $2^{j-1}$ 步，再跳 $2^{j-1}$ 步就相当于跳 $2^j$ 步）。

for(int i = 1; i <= 25; ++ i){//跳 2^i 步
	for(int j = 1; j <= n; ++ j){//第 j 个点
		f[i][j] = f[f[i][j - 1][j - 1];
	}
}

查询：

1. 跳到同一深度。
   先保持 $de{p}_x>de{p}_y$。
   如果 $de{p}_x-de{p}_y$ 的第 $i$ 位为 $1$（二进制），则 $x$ 向上跳 $2^i$ 步。

int tt = t1 - t2;//深度差
for(int i = 0; i <= 25; ++ i){
	if(tt & 1){//第 i 位为 1
		x = f[x][i];
	}
	tt /= 2;
}

2. 两点同时向上跳
   由于直接向上不知道跳多长，考虑换一种思路，找最近公共祖先的下面最近的点。
   如果当前点 $x$ 和 $y$ 向上跳 $2^i$ 步已经相等，说明跳上去的点已经是祖先了，进入下一次循环。
   否则，$x$ 和 $y$ 都向上跳 $2^i$ 步。
   答案就为最终的 $x$ 或 $y$ 的父亲。

for(int i = 25; i >= 0; -- i){//从大到小
	if(f[x][i] != f[y][i]){//不同，向上跳
		x = f[x][i];
		y = f[y][i];
	}
}
printf("%d", f[x][0]);

结合上文，我们就可以写出代码了。

//求每个点的深度
void dfs(int x, int y, int fa){
	dep[x] = y;
	f[x][0] = fa;//第 x 个点向上 1 步就是父亲
	for(auto i : v[x]){
		if(i == fa){
			continue;
		}
		dfs(i, y + 1, x);
	}
}
bool fl[200010];
int main(){
	输入 n
	for(int i = 1; i < n; ++ i){
		int x, y;
		scanf("%d %d", &x, &y);
		fl[y] = 1;//标记 y 有父亲
		//x 和 y 连边
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
	}
	//找 rt
	int rt;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		if(!fl[i]){//没有父亲
			rt = i;
			break;
		}
	}
	dfs(rt, 1, 0);
	预处理 f 数组，进行查询
}