素数筛(埃筛|欧拉筛)

1.埃氏筛

 

#include<iostream>
using namespace std;
int a[1010];
bool vis[1010];
int x;
void aishi(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{//如果是素数,存下来并且他的倍数不是素数 
		if(!vis[i]) a[x++]=i;
		for(int j=2;j*i<=n;j++)
		{
			vis[i*j]=true;
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	aishi(n);
	//输出n以内的素数
	for(int i=0;i<x;i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	
	return 0;
}

2.欧拉筛

 

#include<iostream>
using namespace std;
int isprime[1010],x;
bool vis[1010];
void oulashai(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) isprime[x++]=i;
		for(int j=0;j<x;j++)
		{
			if(i*isprime[j]>n) break;
			vis[i*isprime[j]]=true;
			//这样可以避免埃筛对某一个元素重复标记 
			if(i%isprime[j]==0) break;
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	oulashai(n);
	//输出n以内的素数 
	for(int i=0;i<x;i++)
	{
		cout<<isprime[i]<<" ";
	} 
	return 0;
}

### 法与欧拉法的实现与区别 #### 一、法(拉托斯特尼法) 法的核心思想是通过逐步标记合数来找出素数。具体来说,该方法会从最小的素数2开始,将所有2的倍数标记为合数;接着找到下一个未被标记的数(即下一个素数),再将其所有的倍数标记为合数,如此反复直到处理到目标范围的最大值。 以下是基于Python语言的法实现: ```python def eratosthenes_sieve(n): is_prime = [True] * (n + 1) p = 2 while p * p <= n: if is_prime[p]: for i in range(p * p, n + 1, p): is_prime[i] = False p += 1 primes = [i for i in range(2, n + 1) if is_prime[i]] return primes ``` 上述代码中,`is_prime`列表用来记录某个索引对应的数值是否为素数[^1]。如果某数已被标记为非素数,则跳过其后续操作,从而减少不必要的计算开销。 #### 二、欧拉法(线性法) 欧拉法是对法的一种优化改进版本,主要解决了重复标记的问题。在法中,某些合数可能会被多次标记为非素数(例如,30会被2、3和5分别标记一次)。而欧拉法则引入了一个额外条件 `if(i % prime[j] == 0)` 来避免这种冗余操作[^3]。 下面是欧拉法的一个典型实现方式: ```python def euler_sieve(n): primes = [] is_not_prime = [False] * (n + 1) for i in range(2, n + 1): if not is_not_prime[i]: primes.append(i) for j in range(len(primes)): if i * primes[j] > n: break is_not_prime[i * primes[j]] = True if i % primes[j] == 0: break return primes ``` 在此代码片段里,当满足条件 `i % primes[j] == 0` 时立即退出循环,这是因为此时继续乘以更大的素数不会带来新的信息,反而会造成重复劳动。 #### 三、两种算法的主要差异 1. **时间复杂度** - 法的时间复杂度大约为O(n log log n),尽管效率较高但仍存在一定的冗余运算。 - 欧拉法则进一步降低了时间复杂度至接近O(n)[^2],因为它确保每个合数仅被唯一的一组因子组合所标记一次。 2. **空间复杂度** 两者均需占用O(n)的空间用于存储中间状态数据结构(如布尔数组或标志位集合)。 3. **执行速度** 由于减少了重复工作量,在实际应用场合下,欧拉通常表现得更快一些。 4. **适用场景** 对于较小规模的数据集或者精度要求不高的情况,可以直接采用简单的法;而对于大规模输入以及追求极致性能的应用环境,则推荐使用经过优化后的欧拉方案。 ---
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