二叉树笔记

Jamb_n

已于 2022-11-10 13:52:37 修改

阅读量539

点赞数

文章标签：数据结构算法

于 2022-11-06 15:20:24 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_62947847/article/details/127602528

版权

常用术语

根：二叉树是由唯一的起始结点引出的结点集合，这个起始结点称为根。
父结点（双亲）：任何非根结点都有且仅有一个前驱结点，称为该结点的父结点（双亲）。根结点没有父结点。
左/右子结点：二叉树的任何结点最多可能有两个后继结点，分别称为左/右子结点（或左/右海子）。具有相同父结点的结点之间称为兄弟结点。
结点的度：二叉树中一个结点的子树数目称为该结点的度。
叶结点：没有子结点的结点称为叶结点。叶结点的度为0。除叶结点外的那些非终端结点称为内部结点（或分支结点）
边：父结点k与子结点k'之间存在一条有向线段<k,k'>，称作边。
路径：两个结点间相连边的集合，该路径所经历的边的个数称为这条路径的路径长度。
结点的层数：从根结点到某个结点的路径长度称为结点的层数，根结点为第0层，非根结点的层数是其父结点的层数加1。
树的深度：层数最大的叶结点的层数称为树的深度。
树的高度：树的深度加1为树的高度。
子树：切断一个结点与其父结点的连接，则该结点与其子孙构成的树就称为以该结点为根的子树。

满二叉树和完全二叉树

满二叉树：一棵二叉树的任何结点，或者是树叶，或者左右子树均非空。

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，最后一层上只缺少右边的若干结点。

二叉树的性质

性质1：二叉树的第i层上至多有 $2^{i}$ 个结点。（根结点为第0层）

性质2：深度为k的二叉树至多有 $2^{k+1}-1$ 个结点。

性质3：在任意二叉树中，若叶子结点（即度为0的结点）个数为n0，度为1的结点个数为n1，度为2的结点个数为n2，那么n0 = n2 + 1。

性质4：满二叉树定理：非空满二叉树的树叶数目等于其分支结点数加1。

性质5：满二叉树定理推论：一个非空满二叉树的空子树数目等于其结点数加1。

性质6：具有n个结点的完全二叉树深度为 $[log_{2}(n+1)]-1$ ,高度为 $[log_{2}(n+1)]$ 。

性质7：若对于有n个结点的完全二叉树进行顺序编号 $\left (0\leq i\leq n-1 \right )$ ，那么对于编号为i的结点：

父亲：

如果i = 0 ，则结点i是二叉树的根，无双亲；

如果i > 0 ,则其父结点编号是 $[\left ( i-1 \right )/2]$ ;

孩子：

当2i+1<=n-1时，结点i的左孩子是2i+1，否则结点i没有左孩子。

当2i+2<=n-1时，结点i的右孩子是2i+2，否则结点i没有右孩子。

二叉树的储存顺序

顺序存储和链式存储

1.顺序存储结构

对于完全二叉树，从根结点起，自上而下，从左至右存储，即按顺序编号存储。根据完全二叉树性质，对于任意一个结点，若它存储在第i个位置，则它的左右子结点存放在2i+1和2i+2的位置，其父结点的下标为 $[\left ( i-1 \right )/2]$ 。

顺序存储是完全二叉树最简单、最节省空间的一种存储方式。

对于一般二叉树，也必须按照完全二叉树的形式来存储树中的结点。

2.链式存储结构

根据结点结构的不同，有两种方法：二叉链表、三叉链表。

struct node
{
    struct node *lchild;
    char c;
    struct node *rchild;
}Node,*Pnode;

struct node
{
    struct node *lchild;
    char c;
    struct node *parent;
    struct node *rchild;
};

二叉树的遍历

二叉树的遍历分为：深度优先遍历和广度优先遍历

深度优先遍历

前序遍历、中序遍历、后续遍历

根左右

左根右

左右根

1）前序遍历

（1）访问根结点；

（2）按前序遍历左子树；

（3）按后序遍历右子树；

2）中序遍历

（1）按中序遍历左子树；

（2）访问根结点；

（3）按后续遍历右子树；

3）后续遍历

（1）按后序遍历左子树；

（2）按后序遍历右子树；

（3）访问根结点；

线索二叉树

在n个结点的二叉树中，必定有n+1个空链域

含有n个结点的二叉链表中，链域一共有2*n个（每个点有两个链域）。

对于除了根结点以外的每个点都是有一个父亲结点，所以一共有n-1个指针指向某个结点，

于是形成n-1个有内容的链域（减1即是父亲结点）所以一共有2*n-(n-1)=n+1个链域没有指向任何东西。

若结点的左子树为空，则该结点的左孩子指针指向其前驱结点
若结点的右子树为空，则该结点的右孩子指针指向其后继结点

这种指向前驱和后继的指针称为线索，将一棵普通的二叉树以某种次序遍历，并添加线索的过程称为线索化。

ltag==0，指向左孩子；ltag==1，指向前驱结点
rtag==0，指向右孩子；rtag==1，指向后继结点

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
//二叉树结构的定义
typedef struct BinaryTreeNode{
	int m_nValue;
	struct BinaryTreeNode *m_pLeft;
	struct BinaryTreeNode *m_pRight;
}BinaryTreeNode;
 
//构建二叉树的核心函数，前序的子串起止位置和中序的子串起止位置
BinaryTreeNode * ConstructCore(int *startPreorder, int *endPreorder, int *startInorder, int *endInorder);
 
//构建二叉树的函数，前序遍历和中序遍历的起始位置与长度
BinaryTreeNode *Construct(int *preorder, int *inorder, int length)
{
	if(preorder == NULL || inorder == NULL || length <= 0) {
		printf("invalid input!\n");
		return 0;
	}
 
	return ConstructCore(preorder, preorder + length -1, inorder, inorder + length - 1);
}
 
BinaryTreeNode *ConstructCore(int *startPreorder,int *endPreorder,int *startInorder,int *endInorder)
{
    //前序遍历的第一个元素，即为根节点
	int rootValue = startPreorder[0];
    //构建根节点
	BinaryTreeNode * root = (BinaryTreeNode*)malloc(sizeof(BinaryTreeNode));
	root->m_nValue = rootValue;
	root->m_pLeft = root->m_pRight = NULL;
 
    //顺序遍历到最后一个元素
	if (startPreorder == endPreorder)
	{
        //该节点满足是根节点的条件如括号中所示
		if (startInorder == endInorder && *startPreorder == *startInorder) {
            return root;
        } else {
            printf("invalid input!\n");
        }	
	}
 
    //根据前序遍历中的根节点的值，在中序遍历中找到根节点
	int* rootInorder = startInorder;
	while(rootInorder <= endInorder && *rootInorder != rootValue) {
        ++rootInorder;
    }	
 
	if(rootInorder == endInorder && *rootInorder != rootValue) {
        printf("invalid input!\n");
    }
 
    //在中序数组中找到它的左子树的长度
	int leftLength = rootInorder - startInorder;
    //根据中序遍历中左子树的长度在前序遍历中找到左子树的位置
	int* leftPreorderEnd = startPreorder + leftLength;
 
	if(leftLength > 0){
        //构建左子树，输入为前序遍历子串的起始地址，中序遍历的起始地址
		root->m_pLeft = ConstructCore(startPreorder + 1, leftPreorderEnd, startInorder, rootInorder - 1);
	}
 
	if(leftLength < (endPreorder - startPreorder))
    {
        //构建右子树，输入为前序遍历子串的起始地址，中序遍历的起始地址
		root->m_pRight = ConstructCore(leftPreorderEnd + 1,endPreorder, rootInorder + 1, endInorder);
    }
 
	return root;
}
 
void lastOrderTraverse(BinaryTreeNode *root)
{
	if(root)
	{
		lastOrderTraverse(root->m_pLeft);
		lastOrderTraverse(root->m_pRight);
		printf("%d ",root->m_nValue);
	}
}
 
int main()
{
	int preorder[8] = {1, 2, 4, 7, 3, 5, 6, 8};
	int inorder[8] = {4, 7, 2, 1, 5, 3, 8, 6};
	int length = sizeof(preorder) / sizeof(int);
	BinaryTreeNode *tree = Construct(preorder, inorder, length);
	lastOrderTraverse(tree);
 
	return 0;
}