运筹学—例题求解

Tech行者

已于 2023-04-11 13:38:12 修改

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文章标签：最小二乘法动态规划

于 2023-01-01 23:27:26 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_62338174/article/details/128517039

文章通过运输问题和生产计划展示了线性规划的解决过程，利用lingo软件求解最小运输费用和钢管截取问题，同时提到了梯度下降法在函数极小化中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

作答如下：

图解法验证：

由图可得在点x1=20,x2=24取到最大值Z=4080；

作答如下：

解：

(1)设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表

	B1	B2	B3	产量
A1	x11	x12	x13	200
A2	x21	x22	x23	230
销量	100	150	180	430

模型如下：

采用表上作业法：

由表上作业法，得到最优方案：A1向B1城市运输50吨，向B2城市运输150吨；A2向B1城市运输50吨，向B3城市运输180吨；

（3）最小运输费用：

利用lingo求解：

运行代码：

min=90*x11+70*x12+95*x13+80*x21+65*x22+75*x23;

x11+x12+x13=200;

x21+x22+x23=230;

x11+x21=100;

x12+x22=150;

x13+x23=180;

x11>0;x12>0;x13>0;

x21>0;x22>0;x23>0;

运行结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 32500.00

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 1

Elapsed runtime seconds: 0.10

Model Class: LP

Total variables: 6

Nonlinear variables: 0

Integer variables: 0

Total constraints: 12

Nonlinear constraints: 0

Total nonzeros: 24

Nonlinear nonzeros: 0

Variable Value Reduced Cost

X11 50.00000 0.000000

X12 150.0000 0.000000

X13 0.000000 10.00000

X21 50.00000 0.000000

X22 0.000000 5.000000

X23 180.0000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 32500.00 -1.000000

2 0.000000 0.000000

3 0.000000 10.00000

4 0.000000 -90.00000

5 0.000000 -70.00000

6 0.000000 -85.00000

7 50.00000 0.000000

8 150.0000 0.000000

9 0.000000 0.000000

10 50.00000 0.000000

11 0.000000 0.000000

12 180.0000 0.000000

答：采用以下方法，得到最小运输费用为32500元，即：

A1向B1城市运输50吨，向B2城市运输150吨；A2向B1城市运输50吨，向B3城市运输180吨；

（1）

解：

（2）采用匈牙利解法

其次可以采用优化的匈牙利解法、具体步骤如下：
step 0:观察每行最小元素个数总和r(sum)和每列最小元素个数总和c(sum)。
step 1：当 r（sum）<=c（sum），则先从系数矩阵的每列减去该列的最小元素，再从所得系数矩阵的每行元素中减去该行的最小元素。反之如果当r（sum）c（sum），则先从系数矩阵的每行减去该行的最小元素，再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。其他步骤同匈牙利法。

具体的方案有如下两个，都可以达到最小费用32：

1.甲选择B任务，乙选择C任务，丙选择A任务，丁选择D任务,戊选择E任务；

2.甲选择B任务，乙选择D任务，丙选择A任务，丁选择C任务,戊选择E任务；用lingo进行验证答案一致。

梯度下降法也叫最速下降法，基本思想是往函数下降最快的方向进行搜索，函数某个方向上的变化率可以用函数导数进行表征，因此搜索方向就可以根据函数导数确定，即以 f(x) 在点 xk 方向导数最小的方向作为搜索方向：

利用python程序求解、程序具体见附加：

得出：x1= 3.99996710374836,

x2=1.99997966899839 ,

f(x)极小值分别为 -7.99999999942876

在通过编写MATLAB进行计算，结果如下：x1=4,x2=2时，f(x)=−8，迭代次数为12,与python程序求解一致。

# -*- coding: utf-8 -*-
import sympy as sy


def cal_dffi(f, a, b):
    # 声明变量
    x1 = sy.symbols("x1")
    x2 = sy.symbols("x2")
    # 求偏导
    f1 = sy.diff(f, x1)
    y1 = f1.evalf(subs={x1: a, x2: b})
    f2 = sy.diff(f, x2)
    y2 = f2.evalf(subs={x1: a, x2: b})

    return y1, y2


def gd(a, b, f, alpha, detal):
    x1 = sy.symbols("x1")  # 声明变量
    x2 = sy.symbols("x2")
    y0 = f.evalf(subs={x1: a, x2: b})  # 计算函数值

    while True:

        detalx, detaly = cal_dffi(f, a, b)
        a = a - alpha * detalx
        b = b - alpha * detaly
        y1 = f.evalf(subs={x1: a, x2: b})  # 偏导
        if abs(y1 - y0) < detal:  # 函数值
            break
        else:
            y0 = y1
    return a, b, y1


if __name__ == '__main__':
    # 定义函数
    x1 = sy.symbols("x1")  # 声明变量
    x2 = sy.symbols("x2")
    f = x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2- 2 * x1 * x2  - 4 * x1  # 函数

    a = 1  # 初始点
    b = 1
    alpha = 0.1
    detal = 1e-10  # 精度

    a, b, y = gd(a, b, f, alpha, detal)
    print("x1,x2,f极小值分别为", a, b, y)

6.现有15米长的钢管若干，生产某产品需4米、5米、7米长的钢管各为100、150、120根，问如何截取才能使余料最省？（建立数学模型即可）

作答如下：

这是一个线性规划问题，首先要找出一共有多少中截法；

规格/根序号	1	2	3	4	5	6	7
7米	2	1	1	0	0	0	0	120
5米	0	1	0	3	2	1	0	150
4米	0	0	2	0	1	2	3	100
余料/米	1	3	0	0	1	2	3

建立数学模型： 解：设按第i种方法截xi根（i=1,2,…7)；

利用lingo求解：

运行代码：

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;

2*x1+x2+x3>=120;

x2+3*x4+2*x5+x6>=150;

2*x3+x5+2*x6+3*x7>=100;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);

结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 135.0000

Objective bound: 135.0000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 3

Elapsed runtime seconds: 0.11

Model Class: PILP

Total variables: 7

Nonlinear variables: 0

Integer variables: 7