【DP完全背包变形+DFS】[NOIP1999 提高组] 邮票面值设计

猪猪成

于 2025-03-17 23:16:42 发布

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分类专栏： C++ 文章标签：动态规划算法 dfs

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2. 深度优先搜索 dfs(floor, num)

3.dfs初始化细节

题目详情:

问题描述：

　　给定一个信封，最多只允许粘贴N张邮票，计算在给定K（N+K≤13）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够），如何设计邮票的面值，能得到最大值MAX，使在1～MAX之间的每一个邮资值都能得到。

　　例如，N=3，K=2，如果面值分别为1分、4分，则在1分～6分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有8分、9分和12分）；如果面值分别为1分、3分，则在1分～7分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当N=3，K=2时，7分就是可以得到的连续的邮资最大值，所以MAX=7，面值分别为1分、3分。

输入说明：

　　一行，两个数N、K

输出说明:

　　两行，第一行升序输出设计的邮票面值，第二行输出“MAX=xx”（不含引号），其中xx为所求的能得到的连续邮资最大值。

测试用例:

输入：

3 2

输出：

1 3
MAX=7

题解：

问题分析：

这道题用到DFS+DP 并且DP是完全背包的变形很巧妙有助于加强对DFS和完全背包DP的理解

DFS分析：

由于邮票的种类未知可以用DFS来深搜邮票的面额组合。搜索时，第一张只能从1开始，不然凑不出1这个面额，不满足题意。第二张时，就有很多可能，但是选用的邮票必须比上一张大，所以最少大1，就是2，最大应该是上一张及之前能凑出的最大面额+1，再大就没有意义了，因为如果选用最大面额+2，上一张及之前能凑出的最大面额假设为num，这一张选用num+2，但是num+1肯定凑不出，所以选用更大的就没有意义了。所以上界最大为num+1。

所以DFS函数应该有两个参数，一个是已经选了几张邮票的数量一个是前几张邮票能凑出的最大面额。每层要用数组记录现在已经选的邮票种类。

DP分析：

为什么要使用DP呢，因为深度搜索的每一层，都要计算此时能凑出的最大面额。在每一层中，没有区别的是可以选用邮票的最大张数都是n,但是能凑出来的面额不一定。类似于限制个数的完全背包问题，我们可以设dp[i][j]，i代表前i种邮票，j代表能凑出的面额，然后dp[i][j]代表最少用的邮票张数。也就是完全背包限制每种物品的个数最多为n的变形。但总使用个数再dp时，不限制。最后只要筛查dp数组种大于n的全部凑不到即可。

我们可以用滚动数组形式，一维数组即可。设DP[i] i为面额 DP[i]为所用张数。类似于完全背包的滚动数组一维形式。

目标确定:

在每一次DP时，最后只要顺序遍历DP[i]，若第一次遇到dp[i]>n，那么就说明凑不出来i这个面额，最多只能凑出i-1这个面额。所以dp我们需要的关键是下标，dp[i]中的值只是为了判断用了几张。

DP数组初始化：

每次初始化dp数组为INF 默认凑不出来就初始化为最大值。要初始化的下限应该是1，上限应该是，此时有可能凑出的最大面额，应该是n*DFS存储的邮票种类中的最后一张的面额，也就是都用最后一张的情况。为什么是最后一张，因为根据DFS的逻辑，每次DFS选的邮票种类的面额都会大于上层的，所以此时的最后一张邮票应该面额最大。

状态转移方程：

用一个两重循环，外层循环遍历此时每一种邮票，假设有x种。内层循环遍历邮票面额，从小遍历到大。也就是用这种邮票的面额从小到大去更新dp数组。因为一张邮票最多能用n次，假设这种邮票的面额为s[i] 则内层遍历的面额应该是从s[i]到n*s[i] 。

for(int i=1;i<=x;++i){//用每一种邮票
        for(int j=s[i];j<=n*s[x];++j){//遍历每一个金额{
            f[j]=min(f[j-s[i]]+1,f[j]);//看用这个邮票会不会更少
        }
    }

顺序遍历有一个问题，就是一个金额可能会用超过n种邮票组成。但是我们最后会有一个循环顺序遍历DP[]数组，超过n的默认认为凑不到，我们只能用n张。

注意：

为了便于理解，同时写出非滚动数组，也就是常规二维的形式的状态转移。

如果是常规二维的形式，我们可以设dp[i][j]，i代表前i种邮票，j代表能凑出的面额，然后dp[i][j]代表最少用的邮票张数，则状态转移方程为 dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-s[i]])

由前i-1种邮票能凑出来j面额的使用的张数或者

i种邮票，并且已经凑出了j-s[i]面额再用这张邮票的面额

两种状态的最小值转移而来。

最后只要筛查dp数组种大于n的全部凑不到即可。

题解代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e5+5;
int n,k;
int f[maxn];//f[i]代表凑出i金额所需要的最少邮票数
int ans[20];//是记录最佳邮票组合
int maxs=-INF;//初始化最大面额为最小 方便每次更新
int s[20]={0};//是记录可能的邮票组合
int dp(int x){//return 前x张邮票能凑出的最大面值
    for(int i=1;i<=s[x]*n;++i){//初始化dp数组为最大值 为什么上限是这个 因为s[x]是最大的邮票面额 最大为n张都用这个邮票
            f[i]=INF;
    }
    for(int i=1;i<=x;++i){//用每一种邮票
        for(int j=s[i];j<=n*s[x];++j){//遍历每一个金额{
            f[j]=min(f[j-s[i]]+1,f[j]);//看用这个邮票会不会更少
        }
    }
    for(int i=1;i<=n*s[x];++i){
        if(f[i]>n)//最多只能用n张 如果比n多了 说明没办法凑到
            return i-1;//说明只能凑i-1这么面额
    }
    return n*s[x];
}
void dfs(int floor,int num){//floor 代表现在用了几种邮票了 num代表此时能凑出来的最大面额
    if(floor==k+1){
        if(num>maxs){
            //如果这次的num更大 更新maxs以及ans数组
            maxs=max(num,maxs);
            for(int i=1;i<floor;++i){
                ans[i]=s[i];//存储每一种邮票大小为答案
            }
        }

        return;
    }
    for(int i=s[floor-1]+1;i<=num+1;++i){//遍历搜索其他邮票面额 起点为上一张邮票面额+1 最大为前几种邮票能凑出的金额+1 再大就没有意义了 上下限难！
        s[floor]=i;
        dfs(floor+1,dp(floor));
    }

}
int main() {
    cin>>n>>k;
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=k;++i){
        cout<<ans[i];
        if(i!=k)
            cout<<" ";
    }
    cout<<endl<<"MAX="<<maxs;
    return 0;
}