01背包问题

题目（2. 01背包问题 - AcWing题库）

有 N件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

解答过程

解法1（二维数组）

f[i][j]：容量为j时，i件物品的最大价值

对于第i个物品，我们只有两种选择，选或不选,而选或不选，都是基于i-1件物品。

不选:f[i][j]=f[i-1][j];

选：f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i];

而我们要取价值最大

即：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1005][1005];//容量为j时，i件物品的最大价值
int w[1005],v[1005];
int main()
{
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=1;j<=V;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];//不选物品
            if(j>=v[i])//只有容量比该物体大时，才有选择的可能
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//可选i物品
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    res=max(res,f[i][V]);
    cout<<res;
    return 0;
}

解法二（一维数组）

f[j]：容量为j时的最大价值

对于第i个物品，我们只有两种选择，选或不选。

不选:f[j]=f[j];

选：f[j]=f[j-v[i]]+w[i];

而我们要取价值最大

即：f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])

注意，我们遍历j时，从大到小遍历，保证在i件物品下，小的j对应的f[j]不用重复计算

因为大容量j选择物体是基于小容量j。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1005];//容量为j时的最大价值
int v[1005],w[1005];
int main()
{
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=V;j>=v[i];j--)
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//取选择i物品与不选i物品价值的最大值
    }
    
    cout<<f[V];
    return 0;
}