RANSAC算法：从原理到图像拼接的实践

RANSAC算法：从原理到图像拼接的实践

1. RANSAC算法原理和步骤

1.1 RANSAC算法简介

RANSAC (RANdom SAmple Consensus, 随机采样一致) 算法是从一组含有“外点”(outliers)的数据中正确估计数学模型参数的迭代算法。“外点”一般指的的数据中的噪声，比如说匹配中的误匹配和估计曲线中的离群点。所以，RANSAC也是一种“外点”检测算法。RANSAC是一个非确定性算法，在某种意义上说，它会产生一个在一定概率下合理的结果，其允许使用更多次的迭代来使其概率增加。RANSAC算最早是由Fischler和Bolles在SRI上提出用来解决LDP(Location Determination Problem，位置确定问题)问题的。

对于RANSAC算法来说一个基本的假设就是数据是由“内点”和“外点”组成的。“内点”就是组成模型参数的数据，“外点”就是不适合模型的数据。同时RANSAC假设：在给定一组含有少部分“内点”的数据，存在一个程序可以估计出符合“内点”的模型。

1.2 RANSAC算法基本思想和流程

RANSAC的思想比较简单，主要有以下几步：

• 给定一个数据集S，从中选择建立模型所需的最小样本数（空间直线最少可以由两个点确定，所以最小样本数是2，空间平面可以根据不共线三点确定，所以最小样本数为3，拟一个圆时，最小样本数是3），记选择数据集为S1。
• 使用选择的数据集S1计算得到一个数学模型M1。
• 用计算的模型M1去测试数据集中剩余的点，如果测试的数据点在误差允许的范围内，则将该数据点判为内点(inlier)，否则判为外点(outlier)，记所有内点组成的数据集为S1’，S1’ 称作 S1的一致性集合。
• 比较当前模型和之前推出的最好的模型的“内点”的数量，记录最大“内点”数量时模型参数和“内点”数量。
• 重复1-4步，直到迭代结束或者当前模型已经足够好了(“内点数目大于设定的阈值”)；每次产生的模型要么因为内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

以RANSAC直线拟合为例，如下图所示，首先在点集中随机选择两个点，求解它们构成的直线参数，再计算点集中剩余点到该直线的距离，距离小于设置的距离阈值的点为内点，统计内点个数；接下来再随机选取两个点，同样统计内点个数，以此类推；其中内点个数最多的点集即为最大一致集，最后将该最大一致集里面的点利用最小二乘拟合出一条直线。

2. 迭代次数的确定

2.1 迭代次数推导

RANSAC（Random Sample Consensus，随机抽样一致性）算法的原理和用于拟合数据中的模型时如何确定迭代次数的方法。RANSAC是一个迭代算法，用于从含有“异常值”(outliers)的数据集中估计数学模型参数。迭代次数的确定是基于概率统计，确保算法以一定的概率找到数据中的有效模型。

让我们以线性回归模型为例，假设我们有一组数据点，其中包含异常值，我们的目标是找到最好的拟合线。

设定：

• $t$：任何一个点被分类为内群点的概率。
• $w$：数据集中内群点的比例。

迭代次数 $k$ 的计算基于以下假设：

• 在每次迭代中，至少选中一个内群点的概率是 $t$。
• 至少一次在所有迭代中始终只选中内群点的概率是 $P$。

目标是找到至少有一次迭代中选中的都是内群点，所以计算 $k$，使得至少有 $P$ 的概率可以实现这一事件。

推导的公式是：
$$P=1-(1-t^n{)}^k$$
这里， $t^n$ 是所有点都是内群点的概率，而 $1-t^n$ 则是至少有一个点是外群点的概率。所以， $(1-t^{}$