[CQOI2017] 小Q的棋盘（树形dp）

[CQOI2017] 小Q的棋盘

题目描述

小 Q 正在设计一种棋类游戏。

在小 Q 设计的游戏中，棋子可以放在棋盘上的格点中。某些格点之间有连线，棋子只能在有连线的格点之间移动。整个棋盘上共有 $V$ 个格点，编号为 $0,1,2,\cdots ,V-1$，它们是连通的，也就是说棋子从任意格点出发，总能到达所有的格点。小 Q 在设计棋盘时，还保证棋子从一个格点移动到另外任一格点的路径是唯一的。

小 Q 现在想知道，当棋子从格点 $0$ 出发，移动 $N$ 步最多能经过多少格点。格点可以重复经过多次，但不重复计数。

输入格式

第一行包含2个正整数 $V,N$，其中 $V$ 表示格点总数，$N$ 表示移动步数。

接下来 $V-1$ 行，每行两个数 $a_i,b_i$，表示编号为$a_i,b_i$ 的两个格点之间有连线。

输出格式

输出一行一个整数，表示最多经过的格点数量。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1 0
2 1
3 2
4 3

样例输出 #1

3

样例 #2

样例输入 #2

9 5
0 1
0 2
2 6
4 2
8 1
1 3
3 7
3 5

样例输出 #2

5

提示

【输入输出样例 1 说明】

从格点 $0$ 出发移动 $2$ 步。经过 $0,1,2$ 这 $3$ 个格点。

【输入输出样例 2 说明】

一种可行的移动路径为 $0\to 1\to 3\to 5\to 3\to 7$，经过 $0,1,3,5,7$ 这 $5$ 个格点。

【数据规模与约定】

对于 $100\%$ 的测试点，$1\le N,V\le 100$，$0\le a_i,b_i<V$。

思路

这道题很明显是树形dp，但由于会往回走，因此又得开一个维度来记录了。

所谓的决策就是把总的步数拆成两步来完成。

本道题的状态表示：f [i][j] 表示以i为根节点,向下走j步最多能经过多少点。

本道题的状态转移：（就是决策要把一步拆成两步来走）

	for(int j=V;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<=j;k++){//决策，儿子走了多少步
                f[u][j][0]=max({f[u][j][0],f[u][j-k][0]+f[ver][k-2][1],f[u][j-k][1]+f[ver][k-1][0]});
                f[u][j][1]=max({f[u][j][1],f[u][j-k][1]+f[ver][k-2][1]});
            }
        }

对于这种状态转移我们经常的做法就是画图解决。

代码

//树形背包dp，因为N是固定的

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110,M = 2*N;

int n;
int f[N][N][2];//根节点i，走了j步的最大点数，因为此时肯呢个走回来，所以要判断一下,0表示不会到根节点,
int e[M],ne[M],w[M],h[N],idx;
int V;

void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dfs(int u,int fa){
    f[u][0][1]=f[u][0][0]=1;
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
        int ver=e[i];
        if(ver==fa)continue;
        dfs(ver,u);
        for(int j=V;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<=j;k++){//决策，儿子走了多少步
                f[u][j][0]=max({f[u][j][0],f[u][j-k][0]+f[ver][k-2][1],f[u][j-k][1]+f[ver][k-1][0]});
                f[u][j][1]=max({f[u][j][1],f[u][j-k][1]+f[ver][k-2][1]});
            }
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n>>V;
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b),add(b,a);
    }
    
    dfs(0,-1);
    
    int ans=0;
    
    for(int i=0;i<=V;i++){
        ans=max(ans,f[0][i][0]);
    }
    
    cout<<ans;

    return 0;
}