（数学题）洛谷 P2567 SCOI2010 幸运数字 题解

题意

在中国，很多人都把 $6$ 和 $8$ 视为是幸运数字！lxhgww 也这样认为，于是他定义自己的“幸运号码”是十进制表示中只包含数字 $6$ 和 $8$ 的那些号码，比如 $68$，$666$，$888$ 都是“幸运号码”！但是这种“幸运号码”总是太少了，比如在 $[1,100]$ 的区间内就只有 $6$ 个（$6$，$8$，$66$，$68$，$86$，$88$），于是他又定义了一种“近似幸运号码”。lxhgww 规定，凡是“幸运号码”的倍数都是“近似幸运号码”，当然，任何的“幸运号码”也都是“近似幸运号码”，比如 $12$，$16$，$666$ 都是“近似幸运号码”。

现在 lxhgww 想知道在一段闭区间 $[a,b]$ 内，“近似幸运号码”的个数。

$1\le a\le b\le 10^{10}$

思路

组成的数字只有 $6$ 和 $8$，发现幸运数字并不多大概只有 $2000$ 个。因此先找 $b$ 以内的幸运数字，用 dfs 绰绰有余，并把有倍数关系的幸运数字去重，只留下最小的那个（比如 $8,88,888$ 只保留 $8$），放进数组 $t$。

下面就要找近似幸运数了。做过小奥题的同学们都知道：

• 在 $[1,n]$ 中，找 $a,b,c$ 的倍数有几个，先分别找 $a,b,c$ 的倍数个数，总和记为 $s_1$，然后减去分别找 $lcm(a,b),lcm(b,c),lcm(a,c)$ 的倍数个数，总和为 $s_2$，最后再加上 $lcm(a,b,c)$ 的倍数个数 $s_3$，就能算出答案。
• 求 $[l,r]$ 内有多少个 $k$ 的倍数，答案是 $\lfloor \frac{r}{k}\rfloor -\lceil \frac{l}{k}\rceil +1$

其实就是 容斥定理 和 前缀思想。

对于第一个结论，形式化地书写就是：

考虑一个序列 { t t o t } \{t_{tot}\} {ttot​}，记 $va{l}_{cnt}$ 表示 { t t o t } \{t_{tot}\} {ttot​} 中所有的“任意 $cnt$ 个元素的最小公倍数”。令 $z(k)=\lfloor \frac{b}{k}\rfloor -\lceil \frac{a}{k}\rceil +1$，那么：$$ans=\sum _{i=1}^{tot}(-1{)}^{i}z(va{l}_i)$$

考虑到 $b\le 10^{10}$，算 $lcm$ 的时候有相乘操作，开 long long 数据恶心点就爆，那就要用 long long ²：__int128 来定义。（就因为这个虚空调试了很久）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define dd double
#define i8 __int128
const ll N=2e6+9;
ll a,b;
ll tot,n;
ll t[N],xy[N];
bool vis[N];
void dfs(ll x)
{
	if(x>b)return;
	if(x)xy[++n]=x;
	dfs(x*10+6);
	dfs(x*10+8);
}
bool cmp(ll x,ll y)
{
	return x>y;
}
ll ans;
i8 gcd(i8 x,i8 y)
{
	if(y==0)return x;
	if(x==0)return y;
	return gcd(y,x%y);
}
i8 lcm(i8 x,i8 y)
{
	if(x==0)return y;
	if(y==0)return x;
	return x*y/gcd(x,y);
}
void cal(ll id,ll cnt_lcm,i8 val)
{
	if(val>b)return;
	if(id>tot)
	{
		if(val)
		{
			ll qj=(ll)(cnt_lcm&1?1:-1);
			ans+=qj*(floor((dd)b/val)-ceil((dd)a/val)+1);
		}
		return;
	}
	cal(id+1,cnt_lcm+1,lcm(val,t[id]));
	cal(id+1,cnt_lcm,val);
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	dfs(0);
	sort(xy+1,xy+n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])t[++tot]=xy[i];
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		if(xy[j]%xy[i]==0)vis[j]=1;
	}
	sort(t+1,t+tot+1,cmp);
	cal(1,0,0);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}