9.5记忆化搜索

C++ 记忆化搜索算法详解

一、基本概念

记忆化搜索（Memoization） 是一种通过缓存子问题结果来优化递归算法的技术。核心思想是避免重复计算，将已解决的子问题结果存储起来，需要时直接取用，而非重新计算。它本质上是自顶向下的动态规划方法。

二、适用场景

1. 递归问题存在重叠子问题：如斐波那契数列、爬楼梯问题。
2. 状态空间可被唯一标识：每个子问题可由一组参数唯一确定。
3. 子问题数目有限：缓存空间不会过大。

三、实现步骤

1. 定义递归函数：明确函数参数及返回值。
2. 设计缓存结构：选择数组、哈希表等存储结果。
3. 检查缓存：在函数开头检查当前状态是否已计算。
4. 递归计算并缓存：若未计算，递归求解并保存结果。
5. 处理边界条件：确保递归终止条件正确。

四、C++ 代码示例

示例1：斐波那契数列

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> memo;

int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != -1) return memo[n]; // 检查缓存
    memo[n] = fib(n-1) + fib(n-2);      // 计算并缓存
    return memo[n];
}

int main() {
    int n = 40;
    memo.resize(n+1, -1); // 初始化为-1表示未计算
    cout << fib(n); // 输出：102334155
    return 0;
}

示例2：0-1背包问题

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int knapsack(int W, int wt[], int val[], int n, vector<vector<int>>& memo) {
    if (n == 0 || W == 0) return 0;
    if (memo[n][W] != -1) return memo[n][W]; // 检查缓存
  
    if (wt[n-1] > W) {
        memo[n][W] = knapsack(W, wt, val, n-1, memo);
    } else {
        int include = val[n-1] + knapsack(W - wt[n-1], wt, val, n-1, memo);
        int exclude = knapsack(W, wt, val, n-1, memo);
        memo[n][W] = max(include, exclude); // 计算并缓存
    }
    return memo[n][W];
}

int main() {
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int W = 50;
    int n = 3;
    vector<vector<int>> memo(n+1, vector<int>(W+1, -1)); // 二维缓存
    cout << knapsack(W, wt, val, n, memo); // 输出：220
    return 0;
}

五、注意事项

1. 状态设计：确保参数唯一标识子问题（如背包问题的物品索引和容量）。
2. 缓存选择：
   • 数组：适用于状态参数为连续整数。
   • 哈希表：适用于非连续或复合状态（需自定义哈希函数）。
3. 初始化：将缓存初始化为特殊值（如-1），表示未计算。
4. 栈溢出：递归深度过大会导致栈溢出，可改用迭代动态规划。

六、性能分析

• 时间复杂度：从指数级（如O(2ⁿ)）优化到多项式级（如O(nW)）。
• 空间复杂度：取决于状态空间大小（如O(n)或O(nW)）。

七、进阶技巧

1. 哈希表优化：使用unordered_map存储非连续状态。

   #include <unordered_map>
   unordered_map<string, int> cache; // 复合键转为字符串
   

2. 尾递归优化：减少栈深度，但C++支持有限，需谨慎使用。

3. 滚动数组：动态规划中优化空间，但记忆化搜索中较少用。

八、总结

记忆化搜索通过缓存子问题结果，显著提升递归算法效率，适用于具有重叠子问题的场景。在C++中灵活运用数组或哈希表存储状态，能有效解决复杂问题如动态规划、组合优化等。