题解-LeetCode-双指针

1. 双指针概述

双指针主要用于遍历数组，两个指针指向不同的元素，从而协同完成任务。双指针也可以扩展为多个数组的多个指针。

2. 两数之和问题

2.1 LeetCode-No.167-Medium

解题思路：
总体目的： 找到递增数组中和为$target$的两个数。
双指针： 左指针$l$，从前向后遍历数组；右指针$r$，从后向前遍历数组。
总体流程： 对输入数组进行一次遍历，双指针的移动规则如下：
$$l+r\{\begin{array}{ll}\text{>}target& r--\\ \text{<}target& l++\\ \text{=}target& break\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1.1)}$$
算法终止条件： 由于存在且仅存在一个有效解，则当满足$l+r=target$时算法即终止。

2.2 LeetCode-No.633-Medium

解题思路：
总体目的： 给出$c$，验证是否存在$a^2+b^2=c$的$a$和$b$ 。
双指针： 左指针$l$表示$a$（较小的数），从小向大遍历；右指针$r$表示$b$（较大的数），从大向小遍历。应初始化双指针为最小/最大值，根据数学知识可知：$l=0,r=long(\sqrt{c})$。
总体流程： 进行一次遍历，若两数平方和小于$c$，$l++$；若两数平方和大于$c$，$r--$；若两数平方和等于$c$，直接返回。
算法终止条件： 找到符合要求的$l$和$r$或$l>r$（找不到符合要求的数）时算法即终止。

3. 归并两个有序数组问题

3.1 LeetCode-No.88-Easy

解题思路：
总体目的： 归并$nums2$到$nums1$中，两个均为非递减数组。
双指针： 由于$nums1$中待插入的额外空间位于后半部分，应从两个数组的末尾从后向前将元素按从大到小的顺序依次插入到$nums1$中。因此，双指针分别为指向数组$nums1$末尾的指针$m$，指向数组$num2$末尾的指针$n$，此外还需要一个初始指向$m+n-1$处的当前插入位置指针$pos$。
总体流程： 插入时$m$和$n$不断进行比较并插入到$pos$处，比较的规则如下：
$$\{\begin{array}{ll}nums1[m]>nums2[n]& m--\\ nums1[m]\le nums2[n]& n--\end{array},pos--\text{\hspace{1em}(3.1.1)}$$
$m$或$n$为0时则终止比较。若此时$m\ne 0$，无需额外处理，因为$nums1$中的剩余元素已经位于$nums1$的开头并有序，若此时$n\ne 0$，需将$nums2$中的剩余元素从大到小依次插入到$nums1$中。
算法终止条件： 总体流程结束后算法即终止，本算法总体而言是对两个数组进行了一次从后向前的遍历。由于本题不允许开辟新的数组以存储两个数组的归并结果，遍历的方向只能是从后向前，否则从前向后按元素从小到大的顺序归并也可以。

3.2 LeetCode-No.524-Medium

解题思路：
总体目的： 判断字符串$s$是否可以通过删除某些字母得到字符串$d$（两字符串均由小写英文字母组成）。
双指针： 指向字符串$s$的指针$p1$，指向字符串$d$的指针$p2$，两个指针均按从前向后的顺序遍历各自指向的字符串。另外，设置一个辅助变量$cnt$记录当前已匹配的字符数。双指针移动规则如下：

总体流程： 数组$dictionary$中有若干个字符串$d$，采用双指针依次将字符串$s$和字符串$d$匹配，如果匹配成功，将字符串$d$存入一个List容器中。待所有匹配完成后，按题目要求对List容器进行排序并输出。
算法终止条件： 所有匹配完成后算法即终止，若匹配后List容器中没有元素，说明数组$dictionary$中没有能匹配上的字符串$d$。

4. 快慢指针问题

4.1 LeetCode-No.142-Medium

解题思路：
总体目的： 判断链表是否有环路并寻找环路的入口节点。
双指针： 采用快慢指针来解决环路问题。设快指针$fast$一次走两步，慢指针$slow$一次走一步。对于无环路的情况，显然，快指针首先走到链表的结尾节点，快慢指针永远不会相遇。对于有环路的情况，设链表的首节点到环路入口节点的距离为$x$，环路的入口节点为$p$，环路长度为$len$，由于快指针的速度快，当慢指针走到入口节点$p$时，快指针已经在环路中走了一段距离，此时的情况如下：

快指针与慢指针的距离	再走几次快慢指针相遇
0	0或$n\ast len$
1	1
2	2
…	…
$m$	$m$
…	…
$len-1$	$len-1$

可知在有环路的情况下快慢指针在环路中必定相遇，设相遇节点为$q$。慢指针走到入口节点$p$时，设快指针与慢指针的距离为$m$（同时也是入口节点$p$与相遇节点$q$的距离，因为慢指针从入口节点$p$处再走$m$步即和快指针相遇），显然：$0\le m\le len-1$，因此还可以得知：当慢指针走到入口节点$p$处时，快慢指针相遇最多只要走一圈。
当快慢指针第一次相遇时，慢指针走过的距离为：$s=x+m$，快指针走过的距离为：$2s=x+(len-m)+n\ast len+2\ast m=x+m+(n+1)\ast len=x+m+\delta$，其中$len-m$是快指针与入口节点$p$的距离（同时也是相遇节点$q$与入口节点$p$的距离)，代入公式可得：$x=-m+\delta =(len-m)+n\ast len$，则可知：从相遇节点$q$再走$x$步，即可回到入口节点$p$处。
总体流程： 采用快慢节点找到环路中的相遇节点$q$，将快指针放至链表开头并改为一次走一步，则当快指针从链表开头走$x$步、慢指针从相遇节点$q$处走$x$步时，快慢节点将在开始节点$p$处相遇，从而找出开始节点。
算法终止条件： 快指针走到链表的结尾节点或找出开始节点时算法即终止。

5 滑动窗口问题

5.1 LeetCode-No.76-Hard

解题思路：
总体目的： 寻找字符串$s$中涵盖字符串$t$中所有字符的最小子串$substr$。
双指针： 左指针$l$用于寻找当前滑动窗口中最小子串的起始索引位置，右指针$r$用于寻找当前滑动窗口恰好涵盖字符串$t$中所有字符时的索引位置。$l$和$r$均初始化为0，最小子串$substr$的起始索引$minl$初始化为0，长度$len$初始化为：$s.length+1$（即设置为一个大于$substr$允许的最大长度的非法值）。双指针的滑动规则如下：

总体流程： 首先需要对字符串$t$进行必要的统计，包括该字符串包含哪些字母、每个字母出现了几次，用于判断字符涵盖情况。采用双指针从左向右对进行$s$一次滑动遍历，滑动遍历完成后，得到最小子串$substr$的长度$len$和该子串的起始索引位置$minl$，可据此确定该子串。特别地，若$len$始终为初始值，说明$s$中不存在符合要求的最小子串。
算法终止条件： 遍历完成后算法即终止。尽管双指针的滑动中有两个循环，但两个指针全程最多只会对字符串$s$各自遍历一次，因此时间复杂度仍为$O(n)$。