【2024年浙江工商大学程序设计竞赛新生赛（同步赛）部分题解】

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C. 交换

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$。一开始你有一个总和 $s=0$。

现在你需要做 $n$ 次操作，第 $i$ 次操作的流程如下（$1⩽i⩽n$)：

• 选择一个下标 $p\in [1,n)$，然后交换 $a[p],a[p+1]$（如果你不想选，这一小步可以跳过）；
• $s:=s+a[i]$；

求 $n$ 次操作结束后你能获得的最大的 $s$。

数据范围

• $2⩽n⩽500$；
• $1⩽a_i⩽10^6$；

Solution

我们观察这个数据范围，一眼 $O(n^3)$ 的解法，而且大概率 $dp$。只不过有可能是 $O(n^2)$ 的状态，$O(n)$ 的转移；还有可能是 $O(n^3)$ 的状态，以及需要优化成 $O(1)$ 的转移。

首先，我们的状态需要操作次数 $i$，因为每个操作次数要加的 $a[i]$ 不一样。其次，我们还要交换次数 $j$，因为每次操作可以不选下标 $p$ 进行交换。最后，我们还要知道交换后 $a[i]$ 变成了什么，即 $a[i]:=a[k]$，我们仅需记录这个 $k$。

这样就确定了我们的状态是 $O(n^3)$ 的，因此我们一定需要 $O(1)$ 的优化转移。

设 $dp[i][j][k]$ 表示进行了 $i$ 次操作，已经做了 $j$ 次交换，将 $a[i]:=a[k]$ 能得到的最大 $s$。

状态转移：

• $dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k]+a[k]$，表示第 $i$ 次操作要交换 $a[i-1]$ 和 $a[i]$，而 $a[i-1]$ 在上一次操作中已经有 $a[i-1]:=a[k]$；
• $dp[i][j][k]=dp[i-1][j-|i-k|][k_1]+a[k],k_1<k$。
  • 满足的条件有 $j-|i-k|⩾0$，即 $\max (0,i-j)⩽k⩽\min (n,i+j)$；
  • $|i-k|$ 表示把 $a[k]$ 挪到 $a[i]$ 需要 $|i-k|$ 交换；
  • 除此之外，$k_1<k$ 表示第 $i-1$ 次操作可以交换到 $a[i-1]$ 的为 a [ k 1 ] a[k_1]