【POJ 1328. “区间选点”】

POJ 1328. 区间选点包装版

算法：贪心

1. 题目大意：$x$ 轴下方是陆地，$x$ 轴是海岸线，$x$ 轴上方是海洋，海洋里有 $n$ 个小岛。现要在 $x$ 轴上放雷达，每个雷达的最大有效探测区是以此雷达坐标为圆心，半径为 $d$ 的区域（包括圆周）。题目要求我们求出在 $x$ 轴上放最少几个雷达才能覆盖所有的小岛。

2. 由于 $x$ 轴的位置太多，如果暴力枚举坐标一定会超时（虽然没给坐标的数据范围，但我估计会卡掉），于是我们转换视角，把探测半径 $d$ 搬到小岛身上，这样题目就会变成 —— 给定 $n$ 个点，每个点可以影响到半径 $d$ 及以内的区域，现让这些圆与 $x$ 轴相交，得到一个个弦，也就是在 $x$ 轴上的区间，求在 $x$ 轴上最少选多少点能够使得每个区间内都至少含有选定的一个点，也就是非常经典的 区间选点问题 。

3. 而区间选点的步骤就是 —— 对所有区间以右端点大小进行排序，然后遍历所有区间，如果当前右端点 $r⩾s[i].l$，即和当前区间有交集，则直接跳过，直到 $r<s[i].l$，即严格小于当前区间的左端点，完全没有交集时，才选择下一个区间的右端点，然后更新 $r=s[i].r$。

4. 和区间选点等价的贪心还有 最大不相交区间数量 ，证明我忘光光了（悲），大家可以去看看视频。

时间复杂度 $O(T\times n)$

C ++ 代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>

#define endl '\n'

#define fup(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++ )
#define fdn(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i -- )

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef double db;

const int N = 1010, M = N << 1, MOD = 1e9 + 7;

int n;
db d;
struct Node
{
    db l, r;
    bool operator< (const Node &t) const 
    {
        return r < t.r;
    }
    
} s[N];

int solve()
{
    bool f = true;
    fup(i, 0, n - 1) 
    {
        db x, y;
        cin >> x >> y;
        if (y > d) f = false; // 注意这里不能直接 return -1，因为有多组数据，要把单次输入输完整
        s[i].l = x - sqrt(d * d - y * y); // 利用勾股定理
        s[i].r = x + sqrt(d * d - y * y);
    }
    
    if (!f) return -1;
    sort(s, s + n);
    
    int res = 0;
    db r = -2e9;
    fup(i, 0, n - 1)
        if (r < s[i].l)
        {
            res ++ ;
            r = s[i].r;
        }
    return res;
}

int main()
{
    for (int T = 1; ; T ++ )
    {
        cin >> n >> d;
        if (n == 0) break;
        cout << "Case " << T << ": " << solve() << endl;
    }

    return 0;
}