GitModel数学建模 —— 动手学线性代数

线性代数（基于python）

(一) 线性方程组与向量

1.1 线性方程组

二元一次方程组的未知数的阶数都是一次，式子两边都是用等式相连，因此我们给这个方程组起另一个名字：线性方程组.
什么是向量
矩阵的简介

例如，求解如下二元一次方程组，（方程组可以用向量形式表示成）

我们尝试使用python解线性方程组，Numpy中已经封装了求解线性方程组的函数，我们仅需要传入对应的系数矩阵$\mathbf{A}$以及常数向量$b$，程序就会算出相应的结果.

import numpy as np 
A = np.array([[1, 1],
              [2, 4]])     # 将系数所有向量拼在一起
b = np.array([10,
              28])  # 常数向量
x = np.linalg.solve(A,b)   # 解线性方程组
print("线性方程组的解为：\n",x)

(二) 向量空间、矩阵、行列式以及范数

2.1 向量的运算法则

• 一个数乘一个向量；
• 一个向量加一个向量；
  显然，当变量个数变多之后，也会满足上面这两种运算法则，因此我们接下来正式引入向量的基本运算法则：

给定$n$维向量
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],y=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$

• 向量的加法定义为：
  $$x+y=\left[\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\\ ⋮\\ x_n+y_n\end{array}\right],$$
  即两个向量对应的分量相加.

• 向量的数乘定义为：
  对于$k\in \mathbf{R}$,
  $$kx=\left[\begin{array}{c}k{x}_1\\ k{x}_2\\ ⋮\\ k{x}_n\end{array}\right],$$
  即每个分量都乘上$k$.

关于向量与向量的乘法，我们约定一个使用习惯，我们默认所有的向量都采用列向量的形式，当我们在文中书写时，为了排版优美，通常将向量由列向量转成行向量进行书写，向量的行列交换的称为向量的转置，记做$x^T=(x_1,x_2$