算法笔记|Day30动态规划III

※※※※※0-1背包问题理论

基本题目描述

有n件物品和一个最多能背重量为w的背包，第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

题目分析

采用二维数组

1.dp数组含义：i表示物品，j表示背包容量，dp[i][j]表示从下标为0到i的物品里任取放进容量为j的背包最大的价值总和；
2.递推公式：dp[i][j]=dp[i-1][j](j <weight[i])（如果装不下这个物品，那么就继承dp[i-1][j]的值），dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])(j>=weight[i])（如果能装下这个物品，若不放物品i：由dp[i-1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]；若放物品i：由dp[i-1][j-weight[i]]推出，dp[i-1][j-weight[i]]为背包容量为j-weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]，就是背包放物品i得到的最大价值）；
3.初始化：dp[i][0]=0（背包容量j为0，背包价值总和一定为0），dp[0][j]=value[0](j >=weight[0])（i为0表示存放编号0的物品时各个容量的背包所能存放的最大价值，若j<weight[0]的时候，dp[0][j]应该是0，因为背包容量比编号0的物品重量还小；若j>=weight[0]时，dp[0][j]应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品）
4.遍历顺序：先遍历物品或背包容量均可以，从左向右，从上向下。

采用一维数组（滚动数组）

1.dp数组含义：j表示背包容量，dp[j]表示容量为j的背包最大的价值总和；
2.递推公式：dp[j]=Math.max(dp[j],[j-weight[i]]+value[i])(j>=weight[i])（如果能装下这个物品，若不放物品i：dp[j]不变化；若放物品i：由dp[j-weight[i]]推出，dp[j-weight[i]]为背包容量为j-weight[i]的时候的最大价值，那么dp[j-weight[i]]+value[i]，就是背包放物品i得到的最大价值）；
3.初始化：dp[0]=0（背包容量j为0，背包价值总和一定为0）；
4.遍历顺序：先遍历物品嵌套遍历背包容量，背包容量一定是要倒序遍历。

☆☆☆☆☆leetcode 416. 分割等和子集

题目链接：leetcode 416. 分割等和子集

题目分析

此题判断是否可以将这个数组分割成两个子集，也就是判断能否找到一些元素的和为sum/2，其中sum为集合中各个元素的和。注意到若sum为奇数直接返回true即可，若不为奇数，则相当于背包问题。
1.dp数组含义：dp[j]表示和不超过j的几个数和的最大值（相当于0-1背包问题中的容量为j的背包最大的价值总和）；
2.递推公式：dp[j]=Math.max(dp[j],[j-nums[i]]+nums[i])(j>=nums[i])（相当于集合中每个元素的weight和value相同，都是数值nums）；
3.初始化：dp[0]=0；
4.遍历顺序：先遍历数字嵌套遍历target，target一定是要倒序遍历。

代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len=nums.length;
        int sum=0;
        for(int num:nums)
            sum+=num;
        if(sum%2!=0)
            return false;
        int target=sum/2;
        int dp[]=new int[target+1];
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=target;j>=nums[i];j--){
                dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        return dp[target]==target;
    }
}