关于二叉查找树的平均深度的O(logN)的数学理论

已于 2022-05-05 10:57:27 修改
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分类专栏： # 数据结构 文章标签： 数据结构
于 2022-05-05 09:55:47 首次发布
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证明二叉查找树所有节点的平均深度
J.的学习室
07-21 4795
数据结构与算法分析（c语言描述）第4章 P78 概念一：一棵树所有节点的深度和成为内部路径长 令D（N）为一棵有N节点的树的内部路径长么，即有D（1）=0， 设一棵树的左子树的内部路径长为D（i），则右子树的内部路径长为D（N-i-1）（右子树节点个数=N-左子树节点个数-根节点） 综上： D（N）=D（i）+D（N-I-1）+N-1 (在原树内，左子树与右子树所有节点的
二叉查找树的平均深度
MS_QQ的博客
05-10 1815
二叉查找树的平均深度 设一棵树总共有N个节点，其根节点的左子树有i个节点，则根节点的右子树有N-i-1个节点 设D(N)为该树的内部路径长（即所有节点的深度之和），那么其根节点的左子树内部路径长为D(i)；其根节点的右子树内部路径长为D(N-i-1) 当左子树连接到根节点时，左子树内的每个节点的深度都将加一，同理，右子树亦是如此。所以左右子树连接到根节点时深度总共增加N-1 ∴D(N)=D(i)+D(N−i−1)+N−1 \therefore D(N)=D(i)+D(N-i-1)+N-1 ∴D(N)=D(i
二叉树的层平均值（深度优选搜索 && 广度优先搜索）
weixin_48557384的博客
11-16 374
二叉树的层平均值（深度优选搜索 && 广度优先搜索） 含图示（java）
二叉排序树查找成功时的平均查找长度公式及证明
想到好名再改的博客
07-28 4595
二叉排序树是基于二分查找步骤生成的二叉树。 设二叉排序树的高度为h，共有n个结点 有如下性质： 1.前h-1层结点全部占满（即为满二叉树） 2.最后一层结点可以通过平移使得整个树转化成完全二叉树 思路： 首先求前h-1层的对比次数 之后求最后一层的对比次数 公式为： 下面给出证明过程： ...
二叉树的深度
DK233333的博客
04-22 194
题目：输入一棵二叉树，求该树的深度。从根结点到叶结点依次经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。 思路：遍历二叉树，记录每一条路线的深度并选出最大的。 public class Solution { private int result = 0; public int TreeDepth(TreeNode root) { ret...
【数据结构】树与树的表示、二叉树存储结构及其遍历、二叉搜索树、平衡二叉树、堆、哈夫曼树与哈夫曼编码、集合及其运算
天生爱赞美的博客
10-31 3979
1、树与树的表示 什么是树？ 客观世界中许多事物存在层次关系 人类社会家谱 社会组织结构 图书信息管理 分层次组织在管理上具有更高的效率！ 数据管理的基本操作之一：查找（根据某个给定关键字K，从集合R 中找出关键字与K 相同的记录）。一个自然的问题就是，如何实现有效率的查找？
C语言——查找（折半、分块、二叉排序、哈希法）
qq_51308373的博客
06-20 4603
前言 本篇主要介绍查找概念及各类查找方法。 看完本篇，你将了解到： 1.查找问题概述（查找表可进行的操作、时间开销、一些计算方法） 2.顺序表的查找（存储方式、算法时间性能） 3.折半查找（可递归可迭代） 4.分块查找 5.二叉排序树（查找、插入、创建、删除） 6.平衡二叉排序树（平衡化方法：四种类型） 7.哈希查找（哈希表、哈希函数、解决冲突的方法） 一、查找问题概述 1.查找问题 （1）定义： ①“查找”是基于数据逻辑结构(D,R)定义的一种十分常见的运算。 ②D：数据元素的一个集合 R：数据元素关系的
数据结构与算法分析（十）--- 二叉树的本质与实现 + 递归树与决策树应用
流云
01-09 2502
一、为何要有二叉树？ 世界上有什么样的问题，就有什么样的工具，或者说工具的发明是针对问题来的。在计算机中，由于经常要做的事情是判断真假、比较大小、排序、挑选最大值这类的操作，而它们在计算机的世界里又如此重要，当然也就值得为这些事情专门设计一种数据结构这种数据结构被称为二叉树。 二叉树虽然是一种抽象的东西，在自然界中并不存在，但是它却浓缩了自然界很多事物的共性，那就是分叉、层层递进和有序。而针对这些共性，科学家们又总结出一些具有普遍性的算法，能够回过头来，应用到各种实际问题中。
STL关联式容器之平衡二叉搜索树
chnming1987的博客
11-18 804
在中对二叉搜索树做了简要的描述；但是因为没有对二叉搜索树对数的深度及插入后树的结构进行调整，二叉搜索树可能失去平衡，造成搜寻效率低落的情况。如下所示：所谓树形平衡与否，并没有一个绝对的测量标准。“平衡”的大致意义是：没有任何一个节点过深（深度过大）。不同的平衡条件，造就不同的效率表现，以及不同的实现复杂度。
深度剖析红黑树的查找效率：数据结构与算法
最新发布
AI 算法实战派
05-08 1013
红黑树作为一种自平衡的二叉搜索树，在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据库索引、内存管理等。本文章的目的是全面深入地分析红黑树的查找效率，从理论和实践两个方面进行探讨。范围涵盖红黑树的基本概念、算法原理、查找效率的数学分析、实际代码实现以及在不同场景下的应用。本文将按照以下结构进行组织：首先介绍红黑树的核心概念和基本性质，包括其与其他二叉搜索树的联系；接着详细阐述红黑树的核心算法原理和具体操作步骤，通过Python代码实现；然后使用数学模型和公式分析红黑树的查找效率；
二叉树深度计算
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ych_ding的专栏
12-10 1万+
问题描述 https://oj.leetcode.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/点击打开链接 Given a binary tree, find its maximum depth. The maximum depth is the number of nodes along the longest path from the r
计算完全二叉树的节点个数logn*logn
weixin_61067952的博客
05-24 828
在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~2^h个节点。 利用完全二叉树的定义，如果向左子树递归 的深度等于向右子树递归的深度，那么这棵树为满二叉树 如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树 那么满二叉树的节点个数为2^depth-1，而只有一个节点的树即是完全二叉树又是满二叉树，可以作为递归出口：将完全二叉树不断拆分成其子树..
算法导论-二叉查找树习题解
weixin_30432179的博客
02-16 331
12.2-9 设T为一棵其关键字均不相同的二叉查找树，并设x为一个叶子节点，y是其父节点。证明：key[y]或者是T中大于key[x]的最小关键字，或者是T中小于key[x]的最大关键字。 　　若x是y的左节点，y是x的后继，此时key[y]是大于key[x]的最小关键字；若x是y的右节点，y是x的前驱，此时key[y]是小于key[x]的最大关键字。 12.4-2 请...
O（logn）二叉树中的意义----高性能(四)
weixin_34342578的博客
10-22 585
转载地址:https://zhidao.baidu.com/question/239708227508660244.html?qbl=relate_question_2&word=%CA%B1%BC%E4%B8%B4%D4%D3%B6%C8logn 最近在研究算法，书上一直说时间是O（logn），但是没有明确说logn的底是什么，这样理解是否准确？ log n是指的以常数为底 N的对数...
关于二叉树的计算题
优快云_of_ding的博客
05-18 419
1 . 高度为h的满二叉树，有(2^h)-1个结点； 2 . 具有n个结点的完全二叉树的高度为(logn)向下取整+1； 3 . 第k层至多有2^（k-1）个结点。
【Java】1104. 二叉树寻路---时间复杂度O（logN）,使用对称策略，快速解决问题！！！
惠菁
07-29 234
在一棵无限的二叉树上，每个节点都有两个子节点，树中的节点 逐行 依次按 “之” 字形进行标记。 如下图所示，在奇数行（即，第一行、第三行、第五行……）中，按从左到右的顺序进行标记； 而偶数行（即，第二行、第四行、第六行……）中，按从右到左的顺序进行标记。 给你树上某一个节点的标号 label，请你返回从根节点到该标号为 label 节点的路径，该路径是由途经的节点标号所组成的。 示例 1： 输入：label = 14 输出：[1,3,4,14] 示例 2： 输入：label = 26 输出：[1,2,6,
二叉搜索树
zy010101博客
10-14 354
二叉搜索树（Binary Search Tree）也叫做二叉排序树或者二叉查找树。顾名思义，它是一种对排序和查找都很有用的特殊二叉树。 二叉查找树满足以下性质：（假设二叉查找树中每个节点元素都是不同的，它也可以为空） 非空左子树的所有键值小于其根节点的键值； 非空右子树的所有键值大于其根节点的键值； 左，右两棵子树都是二叉搜索树 二叉搜索树本质上还是一棵二叉树，只不过对它做了限定，就行队列...
折半查找的平均查找长度怎么算
04-19
<think>嗯，用户问的是如何计算二分查找的平均查找长度（ASL）。我需要先回顾一下二分查找的基本原理和ASL的定义。ASL分为成功和失败两种情况，但用户可能主要关心成功的情况。根据引用中的信息，二分查找的时间复杂度是O(logn)，平均查找长度应该和这个相关。 首先，平均查找长度是指在所有成功查找的情况下，比较次数的平均值。对于有序数组，二分查找每次将搜索范围减半。可能需要用二叉树模型来分析。比如，一个有序数组对应的判定树是一棵平衡二叉树，每个节点的查找次数就是其所在的层数。 根据引用[2]，ASL的计算公式可能与树的深度有关。比如，具有n个节点的判定树深度为⌊log₂n⌋+1，所以每个节点的查找次数不超过这个深度。平均查找长度应该是所有节点的层数之和除以节点数。 可能需要具体例子来说明。比如，当n=7时，判定树是满二叉树，每个节点的查找次数是层数。第一层1个节点，比较1次；第二层2个节点，比较2次；第三层4个节点，比较3次。总次数是1×1 + 2×2 + 4×3=1+4+12=17，平均查找长度是17/7≈2.43。 但如果是n不是2的幂减一的情况，比如n=6，判定树可能不完全平衡。这时需要计算每个节点的层数之和，再除以n。可能需要通用公式，如ASL=(1×1 + 2×2 + 4×3 + ... + 2^(h-1)×h)/n，其中h是树的高度。 引用[4]提到二分查找的ASL由平均查找长度公式推导而来，可能涉及对数计算。不过用户可能需要更具体的推导过程，比如通过数学归纳法或递推关系。 另外，用户提供的引用中有不同的信息，需要整合。例如，引用[2]指出平均时间复杂度为O(log n)，而ASL的具体计算可能涉及到判定树的结构。因此，需要将理论公式与实际例子结合，帮助用户理解如何手动计算ASL。 总结步骤可能包括：1. 构建判定树；2. 计算每个节点的比较次数；3. 求平均值。对于不同的n，可能需要不同的处理方式，如满二叉树或非满的情况。同时，可能还需要区分成功和失败的情况，但用户主要问的是成功的ASL。</think>### 折半查找平均查找长度计算方法 #### 一、基本概念 折半查找的平均查找长度（ASL）定义为**所有成功查找时关键字比较次数的平均值**。对于包含$n$个元素的有序数组，折半查找通过判定树（平衡二叉搜索树）模型进行计算[^2][^4]。 #### 二、判定树模型 1. **树结构特性** - 每个节点对应数组中的一个元素 - 树的高度$h = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1$[^2] - 第$k$层节点数为$2^{k-1}$（当树为满二叉树时） 2. **比较次数与层数关系** 元素位于第$k$层时，查找需要比较$k$次 #### 三、计算公式推导（以满二叉树为例） 对于$n=2^h-1$个节点的满二叉树： $$ASL = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{h} k \times 2^{k-1}$$ 展开计算： $$ \begin{align*} \text{当} \ h=3 \ (\text{即}\ n=7) \\ ASL &= \frac{1×1 + 2×2 + 4×3}{7} = \frac{17}{7} \approx 2.43 \end{align*} $$ #### 四、通用情况计算步骤 1. **确定树高度** $h = \lfloor \log_2 n \rfloor + 1$ 2. **分层计算节点数** - 前$h-1$层构成满二叉树，节点数$2^{h-1}-1$ - 最后一层节点数$n - (2^{h-1}-1)$ 3. **分层计算比较次数** $$ASL = \frac{1}{n} \left[ \sum_{k=1}^{h-1} k \times 2^{k-1} + h \times (n - 2^{h-1} + 1) \right]$$ **示例**：$n=6$时 - 树高度$h=3$ - 前2层节点数$3$，第3层节点数$3$ - $ASL = \frac{1×1 + 2×2 + 3×3}{6} = \frac{14}{6} \approx 2.33$ #### 五、近似公式 当$n$较大时可采用近似公式： $$ASL \approx \log_2(n+1) - 1$$ 该公式误差在$0.1$以内[^4][^2]。 #### 六、性能对比 - 最坏情况查找长度：$O(\log n)$[^2] - 平均情况时间复杂度：$O(\log n)$
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