MATLAB学习打卡第五天——图的最短路径和距离

1，引文

原文教程为川川菜鸟的《打卡第五天—图的最短路径和距离》

链接为第三天打卡--非线性规划（1）_python菜鸟-优快云博客打卡第五天—图的最短路径和距离_python菜鸟-优快云博客第三天打卡--非线性规划（1）_python菜鸟-优快云博客

有需要者自取。

相比于前面咱们所学的特殊算法（线性规划），今天我们学的是另一类方法——动态规划。作为考察问题的一种途径，它不像线性规划有一个明确的解题模板步骤，而是需要我们具体问题具体分析。

因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。

二，教程

1，sparse创建稀疏矩阵

假如，我们有这样的无向图（图中的数字代表两点的距离）

我们可以这样写代码

%w(起点,终点)=权重值

clear all
clc
w=zeros(4);
w(1,2)=2;w(1,3)=3;w(1,4)=8; 
w(2,3)=6;w(2,4)=6;
G=sparse(w)

 运行得到结果

或者，咱们也可以这样写

clear all
clc
%sparse([起点集合],[对应终点集合],[对应权重集合])
G = sparse([1 1 1 2 2],[2 3 4 3 4],[2 3 8 6 6]);
s=sparse(G)

 结果同样为

2，有向图最短路径

在这里，我们要提到一个新的函数： graphallshortestpaths

语法如下

然后，咱们创建一个有向图，来作为咱们接下来讲解的背景

clear all
clc
G = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],[41 99 51 32 15 45 38 32 36 29 21])
view(biograph(G,[],'ShowWeights','on'))

 

 

然后呢，咱们在代码里再加个那么一行。 

clear all
clc
G = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],[41 99 51 32 15 45 38 32 36 29 21])
view(biograph(G,[],'ShowWeights','on'))
graphallshortestpaths(G)

咱们现在比之前多了什么？多了个ans。

那么这个是什么含义呢？

比方说，我们现在想从节点一，有方向的去往节点六的最短路径，就是95（第一行第六列）。那么，看第一行第一列的数字，为啥是0？从节点一走到节点一，距离可不就是0嘛。 

所以，咱们得出一个通性。第一行是节点一到各个节点的最短距离。第二行是节点二到各个节点的距离。以此类推。

那么，我们现在知道了某个点到某个点的最短距离，是不是可以求出这个距离所对应的路径呢？

其实，不难看出：21+32+38=95

路径便是1-5-3-6

参考

如果觉得自己没那么轻易看出来，不用灰心，咱们接着往下看

3，有向图最短路径（2）

在这里，咱们需要一位新朋友：函数dijkstra.m（你不需要修改，知道这个函数具体意思，我们调用它就行）

看代码

function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)
n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start;
for i=1:n
   if i~=start
       label(i)=inf;
end, end
s(1)=start; u=start;
while length(s)<n
   for i=1:n
      ins=0;
      for j=1:length(s)
         if i==s(j)
            ins=1;
         end
      end
      if ins==0
         v=i;
         if label(v)>(label(u)+w(u,v))
            label(v)=(label(u)+w(u,v)); 
         f(v)=u;
         end 
      end
   end   
v1=0;
   k=inf;
   for i=1:n
         ins=0;
         for j=1:length(s)
            if i==s(j)
               ins=1;
            end
         end
         if ins==0
            v=i;
            if k>label(v)
               k=label(v);  v1=v;
            end
         end
   end
   s(length(s)+1)=v1;  
   u=v1;
end
min=label(terminal); path(1)=terminal;
i=1; 
while path(i)~=start
      path(i+1)=f(path(i));
      i=i+1 ;
end
path(i)=start;
L=length(path);
path=path(L:-1:1);

这时候，我们去解决上述问题

% 构造邻接矩阵
a = zeros(6);
a = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],[41 99 51 32 15 45 38 32 36 29 21])
a = a + a';
a(a==0) = inf; % 零元素换成inf
a(eye(6,6)==1)=0; % 对角线换成 0 
view(biograph(a,[],'ShowWeights','on'))
[min,path]=dijkstra(a,1,6) % dijkstra模型求解节点一到节点六最短路径

 

 所以，最短路径就是82，路径为1-5-3-6。

4，无向图最短路径

无向，其实把两个有向结合起来就行。比如，我要看1和6的无向最短路径，我可以先看1到6最短路径，再看6到1最短路径即可。