堆优化版Dijkstra算法

堆优化版Dijkstra算法

朴素版Dijkstra算法的时间复杂度是o(n^2)的，当数据范围较大的时候，比如n= 10^5，那么肯定就会爆掉，所以我们要想办法对其进行优化。要想对一个算法进行优化，我们要分析一下它每一步的时间复杂度，对复杂度较高的步骤进行优化。
具体的朴素dijkstra算法的思路可以参考朴素Dijkstra算法解决最短路问题
对朴素dijkstra算法进行分析，我们可以发现浪费时间的地方主要发生在找当前距离源点最近的那个点，每次都需要对所有的点进行遍历，再加上外面的一层循环，总体的时间复杂度就是o(n^2)，其实在朴素dijkstra算法的代码中，每次对距离进行更新的时候，也要遍历所有的点所以时间复杂度也是o(n2)，
知道了那个地方费时多，我们就可以针对性的进行修改，比如找距离源点最近的那个点，其实就是在一堆数据中找到最小值，那么可以使用最小对来解决，这样这一步的时间复杂度可以变为o(1)(再加上外面一层循环就是o(n))，然后更新的那一步其实也可以优化，就是我们没必要遍历更新所有的点，只需要更新和当前结点有连接的点的距离。
接下来再来说一下小根堆的实现。可以使用优先队列priority_queue（包含在头文件#include中），接下来看一下代码

int dijkstra()
{
//这里存储的时候采用的是邻接矩阵
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//优先队列实现小根堆的写法
    heap.push({0, 1});
    
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        int distance = t.first, v = t.second;
        
        if(s[v]) continue;
        s[v] = true;
        
        for(int i = h[v]; i != -1; i = ne[i])//访问到v，说明只是与v有联系的那些点的权值会改变
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[v] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[v] + w[i];//w存的就是某两个点之间的权值
                heap.push({dist[j], j});//相当于在堆中修改，时间复杂度是o(logn)
            }
        }
    }
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}