三角果计数 & D 礼物

idea：在树上对满足条件的链计数，不枚举链的两端点，而是枚举链中间的一个点（lca）

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三角果计数

题意：找一棵树上有多少三元组满足其两两间的最短路长度能构成一个三角形。

分析：显然这样的三元组不可能存在于一条链上，所以此题的边权是没用的。那么我们只需计算所有三元组的数量再减去在一条链上的三元组数量即可。一条链上的三元组数量可以通过枚举中间的点来计算。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
vector<int>mp[100005];
int sz[100005];
int ans;
int n;

void dfs(int u,int fa)
{
    sz[u]=1;
    for(auto v:mp[u])
    {
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
        ans+=sz[v]*(n-sz[u]);
    }
}

signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        mp[u].push_back(v);
        mp[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    cout<<n*(n-1)*(n-2)/6-ans<<endl;
}

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礼物

题意：给你一颗树，让你找到一个点作为根，使得所有链的lca之和最大。

分析：换根dp+枚举lca。计算根为1的ans[1]时，先算i<j的情况，最终结果为2*ans[i]+(n+1)*n/2。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e6+5;
vector<int>e[maxn];
int dp[maxn];
int ans[maxn];
int sz[maxn];
int n;

void dfs1(int u,int fa)
{
    sz[u]=1;
    for(auto v:e[u])
    {
        if(v==fa) continue;
        dfs1(v,u);
        dp[u]+=u*sz[v]*sz[u];
        sz[u]+=sz[v];
    }
}

void dfs2(int u,int fa)
{
    for(auto v:e[u])
    {
        if(v==fa) continue;
        ans[v]=ans[u]+sz[v]*(n-sz[v])*(v-u);
        dfs2(v,u);
    }
}

signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans[1]+=dp[i];
    }
    dfs2(1,0);
    int id=0,maxx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(ans[i]>maxx)
        {
            maxx=ans[i];
            id=i;
        }
    }
    cout<<id<<" "<<maxx*2+(n+1)*n/2<<endl;
}