线性求欧拉函数

最新推荐文章于 2023-08-18 20:25:24 发布

清歌与

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分类专栏： acm数学文章标签： c++ 数学 acm竞赛

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该博客介绍了如何在O(n)的时间复杂度内计算1到N所有数的欧拉函数之和。欧拉函数用于计算与N互质的数的个数，公式为ϕ(N)=N*(1-1/p1)*(1-1/p2)…*(1-1/pn)，其中p1, p2, p3等为N的因数。博客提供了两种实现方法：一是直接计算单个数的欧拉函数，二是线性时间复杂度计算所有数的欧拉函数之和，利用了欧拉函数的性质进行优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1、求某个数的欧拉函数

欧拉函数的定义
1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
ϕ(N) = N * （1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) ···(1 - 1/pn)。其中，p1, p2, p3 为N的因数。

signed main(){
	scanf("%d", &n);
    ans = n;
    int m = n;
    for(int i = 2; i <= m / i; i++){
        if(n % i == 0){
            while(n % i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    //如果n > 1，说明n为质数
    if(n > 1)  ans = ans / n * (n - 1);
    cout << ans << endl;
}

2、线性时间内求1~N中的所有的欧拉函数的和

欧拉函数的性质(x为质数）
① ϕ(x) = x - 1;
②如果i mod x == 0, 那么 ϕ(i * x) = x * ϕ(i);
③如果i mod x != 0，那么 ϕ(i * x) = (p - 1) * ϕ(i);

#define int long long int
const int N = 1e6 + 10;
int n, cnt;//cnt标记素数个数
int phi[N];//存每个数的欧拉函数
int prim[N];//存放素数
bool vis[N];//判断是不是素数
int ans;

int getphi(int n){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if( !vis[i] ){
            prim[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt; j++){
            if(i * prim[j] > n) break;
            vis[i * prim[j]] = true;
            if(i % prim[j] == 0){
                phi[i * prim[j]] = prim[j] * phi[i];break;
            }
            else{
                phi[i * prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans += phi[i];
    }
    return ans;
}