实战数据结构理解ST表

前言

最近学习了ST表，所以写下这篇文章来记录一下，如有理解不到位的，欢迎大佬们在评论区留言

定义

ST是Sparse table的缩写，所以ST表是稀疏表；ST表本质是利用分治和倍增思想来求解的表，实战中通过预处理数据来得到一张表，然后通过查表得到结果；预处理可以做到O（nlogn），查询为O（1）

原理

之前说到，ST表就是用分治和倍增来求解得到的表，可以先看看洛谷这道题的题干https://www.luogu.com.cn/problem/P3865

分治和倍增体现在哪里呢？其实倍增体现在DP定义中，分治体现在递推公式中，ST表代码是利用了DP来进行预处理的

对于这道题，定义dp[i][j]表示左端点为i右端点为i+(2^j)-1的区间最大值

这里搬一下大佬的图

仔细观察区间就会发现[i，i+(2^j)-1]的区间长度正好是2的j次方，并且图示正好分一半，也就是一个区间分成两部分，每个部分都是2的j-1次方

所以可以这么理解，想求整个区间的最值，那么需要先求分开的两个区间的最值进行比较
这样就可以知道dp[i,j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);

既然定义和递推公式已经知道了，那么如何初始化和遍历呢？

从递推公式就可以知道，必须保证j>=1，也就是要求j=0时dp[i][0]等于什么；还记得定义是什么吗？dp[i][0]就表示为左端点i，右端点i+2^0-1区间的最大值。意思已经很明显了，端点本身这个数就是最值了；所以初始化时需要将dp[i][0]全部初始化为自身这个数

那么遍历又如何？是先i后j还是先j后i？

首先需要明确的是，j是与倍增直接相关的，所以必然有i + (1 << j) - 1 <= n；也就是说倍增不能够超出总的数字个数，但在代码中的实际含义应该是和范围有关，所以应该这么理解：i倍增后的右区间不能超过n，所以这个式子存在于i层，j层判断则是根据实际的数据规模进行判断，不难发现，必须要先遍历j再遍历i，否则上述式子没办法取值

对于询问应该怎么做？询问能做到O（1）必不可少就是查表

由于打表的时候是利用倍增思想打表，那么查表的时候自然也是要利用倍增的思想查表
所以先求log2(区间数字个数)，再查表，查表时要覆盖左端点和右端点，所以分别以左端点和右端点开始做倍增,这样就一定能查到最值，下面这张图应该很清楚了，还是大佬的图

可以算一下，右区间-左区间+1就是闭区间的数字个数，比如：[0,5]的数字个数是5-0+1=6个

除开ST表的求解外，本题的数据非常严格，要求能预处理的都要预处理，所以还要设置一个对数数组来预处理，防止重复计算对数来优化询问时间

最后附上代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100001;
int i, j, m, n, l, r, lg[N], dp[N][22]; //lg代表对数数组，存放处理的对数；dp[i][j]表示左闭区间i开始的2^j个数的最大值
int que(int x, int y)
{
    int z = lg[y - x + 1];
    return max(dp[x][z], dp[y - (1 << z) + 1][z]);
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    lg[0] = -1;
    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &dp[i][0]); //sacnf性能更高
        lg[i] = lg[i >> 1] + 1; //预处理
    }
    for (j = 1; j < 22; ++j)
        for (i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
    for (i = 1; i <= m; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", que(l, r));
    }
    return 0;
}

总结

ST表类问题的解决方法就是利用倍增的思想进行打表，查询时直接查表，注意数据规模就基本可以得到解决