矩阵范数与级数

范数与级数

矩阵范数

1. 列和范数$\Vert A{\Vert }_1$:$\Vert A{\Vert }_1$ = $ma{x}_{1\le j\le n}{\sum }_{i=1}^n|a_{ij}|$:每一列元素取模相加的最大值。
2. 行和范数$\Vert A{\Vert }_{\infty }$:$\Vert A{\Vert }_{\infty }$ = $ma{x}_{1\le i\le n}{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$:每一行元素取模相加的最大值。
3. 谱范数$\Vert A{\Vert }_2$:$\Vert A{\Vert }_2$ = $\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{H}A)}$：取$A^{H}A$的最大特征值开根。
4. F范数$\Vert A{\Vert }_F$:$\Vert A{\Vert }_F$ = $\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}$:每个元素取模平方之后相加再开根

矩阵级数

求收敛半径：

1. 利用比值法

   $R=li{m}_{n\to +\infty }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$

2. 根式法

   $R=li{m}_{n\to +\infty }|\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}|$

利用级数的系数求出收敛半径，然后比较之后得到绝对收敛或发散。

考点

1. 求矩阵范数
2. 幂级数收敛的判断和收敛半径的计算

参考

矩阵论 - 戴华