Method: Structured State Spaces (S4)——动机：对角化（Motivation: Diagonalization）

动机：对角化（Motivation: Diagonalization）

计算离散时间状态空间模型（SSM）（3）的主要瓶颈在于需要通过矩阵$A$进行重复的矩阵乘法运算。例如，像LSSL中那样朴素地计算（5），需要进行 L 次连续的$A$矩阵乘法。这种方法需要$O(N^{2}L)$次操作和$O(NL)$的空间。

具体来说，这意味着每一步计算都要涉及到$A$的乘法操作，随着步数$L$的增加，计算复杂度会显著增加。这些操作不仅耗费大量的计算资源，还需要存储大量的中间结果，因为每次乘法运算都需要维护一个$N\times N$的矩阵。

优化这一过程的关键在于寻找可以减少乘法操作次数或者优化乘法运算的方法，以提高计算效率并减少存储需求。

引理 3.1 共轭在SSM上的等价关系

引理 3.1: 共轭在状态空间模型 (SSM)（A, B, C）上构成了等价关系，即 (A, B, C) ∼ (V^-1AV, V^-1B, CV)

证明:

我们将两个 SSM 写出来，分别用$x$和$\tilde{x}$表示状态：

对于第一个 SSM:
$$\begin{gathered} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx \end{gathered}$$

对于第二个 SSM:
$$\begin{gathered} \dot{\tilde{x}}=V^{-1}AV\tilde{x}+V^{-1}Bu \\ y=CV\tilde{x} \end{gathered}$$

通过将右侧的 SSM 乘以$V$，可以得到：
$$V$$