SAMformer——2.Proposed Approach

2.1. Problem Setup

这段文字描述了一个多变量长时间预测问题的设置，特别是在时间序列预测任务中的具体框架。以下是这段文字的详细解释和关键概念的解析：

问题设置

1. 多维时间序列（Multivariate Time Series）：

   • 给定一个长度为$L$的$D$维时间序列，用一个矩阵 X ∈${\mathbb{R}}^{D\times L}$表示。这里，$D$表示时间序列的维度数（即特征的数量），$L$表示回溯窗口（lookback window）的长度，即过去的$L$个时间点的值。
   • 预测目标是该时间序列未来的$H$个值（预测区间），用矩阵 Y ∈${\mathbb{R}}^{D\times H}$表示。

2. 训练集：

   • 假设有一个训练集，包含$N$个观察样本，每个样本包括输入和对应的目标输出。这个训练集表示为$\{(X^{(i)},Y^{(i)}){\}}_{i=0}^N$，其中$X^{(i)}$表示第$i$个输入样本，$Y^{(i)}$表示第$i$个目标输出样本。
   • 具体地，$X_d^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{1\times L}$表示第$i$个样本的第$d$个特征（即时间序列的一个维度）的输入，$Y_d^{(i)}\in {\mathbb{R}}^{1\times H}$表示第$i$个样本的第$d$个特征的目标输出。

3. 预测器（Predictor）：

   • 目标是训练一个预测器$f_{\omega }:{\mathbb{R}}^{D\times L}\to {\mathbb{R}}^{D\times H}$，该预测器由参数$\omega$参数化，能够将输入的矩阵 X 映射到预测的矩阵 Y。
   • 预测器的训练目标是最小化在训练集上的均方误差（Mean Squared Error, MSE），即方程（1）
     $$L_{\text{train}}(\omega )=\frac{1}{ND}\sum _{i=0}^N\Vert Y^{(i)}-f_{\omega }(X^{(i)}){\Vert }_F^2$$

方程（1）

其中，$\Vert \cdot {\Vert }_F$表示 Frobenius 范数，计算矩阵的元素平方和的平方根。

解释和举例

• Frobenius 范数：对于一个矩阵 A，Frobenius 范数$\Vert A{\Vert }_F$是其所有元素的平方和的平方根。例如，对于矩阵
  $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$
  Frobenius 范数为
  $$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=\sqrt{30}$$

• 目标：通过优化预测器$f_{\omega }$的参数$\omega$，使得预测的结果 Y 尽可能接近真实的未来值 Y，从而最小化训练集上的均方误差。

• 训练过程：训练的过程就是通过不断调整参数$\omega$，使得损失函数$L_{\text{train}}(\omega )$达到最小。这意味着训练得到的模型能够准确地从历史数据$X$预测出未来的$H$个时间点的值。

总结1

这一框架的核心是通过训练一个由参数$\omega$决定的函数（或模型）来预测多变量时间序列的未来值。在训练过程中，通过最小化均方误差，模型学习如何从历史数据中提取有用的信息，从而进行准确的预测。

2.2. Motivational Example

在这个动机示例中，作者提到了Zeng等人（2023年）的研究，他们发现Transformer模型在某些情况下的表现与简单的线性神经网络相当，甚至有时还不如后者。线性神经网络直接将输入映射到输出，而Transformer是一个更复杂的模型。这一观察结果促使作者进一步探讨这种现象，并通过一个生成模型的玩具回归问题来模拟时间序列预测的场景。

生成模型的描述

在这个示例中，作者提出了一个简单的生成模型，用于研究回归问题，这个模型模拟了之后要讨论的时间序列预测问题。具体的模型公式为：
公式(2)
$$Y=X{W}_{\text{toy}}+ϵ$$

其中：
-$Y$是模型的输出或目标值矩阵。
-$X$是输入矩阵。
-$W_{\text{toy}}$是一个随机生成的权重矩阵。
-$ϵ$是一个随机噪声矩阵，用于模拟现实世界中的噪声或不确定性。

参数设置

模型的参数设置如下：
-$L=512$：输入时间序列的长度，即每个输入样本有512个时间点。
-$H=96$：需要预测的输出序列的长度，即预测未来96个时间点的值。
-$D=7$：输入特征的维度，即每个时间点有7个不同的特征。

-$W_{\text{toy}}\in {\mathbb{R}}^{L\times H}$：这是一个随机生成的权重矩阵，其尺寸为$512\times 96$，用于将输入矩阵$X$投射到输出矩阵$Y$。
-$ϵ\in {\mathbb{R}}^{D\times H}$：这是一个具有随机正态分布的噪声矩阵，其尺寸为$7\times 96$。

数据生成

通过上述模型，作者生成了15000对输入-目标样本对$(X,Y)$，其中：

• 10000对样本用于训练模型。
• 5000对样本用于验证模型。

在这个设置中，输入矩阵$X$的尺寸为$D\times L$（即$7\times 512$），并且每个元素都来自于一个随机正态分布。目标矩阵$Y$的尺寸为$D\times H$（即$7\times 96$）。

这个动机示例通过一个简单的线性模型生成了一组模拟的数据，用于研究Transformer模型与简单线性模型在时间序列预测任务中的性能差异。这个简单的模型可以帮助理解在某些情况下，复杂模型（如Transformer）未必总是比简单模型（如线性神经网络）表现更好，尤其是在数据本身具有线性特征的情况下。

作者提出了一种简化的Transformer架构，旨在有效地解决前面提到的生成模型问题（即方程(2)），同时避免不必要的复杂性。下面是对这个架构的详细解释。

模型架构概述

作者希望设计一个高效的Transformer模型来解决生成模型的问题。为此，他们简化了通常的Transformer编码器，通过以下方式优化模型：

1. 应用注意力机制：直接对输入矩阵$X$应用注意力机制（Attention）。
2. 残差连接：将输入矩阵$X$添加到注意力机制的输出中，形成一个残差连接（Residual Connection）。
3. 线性层输出：代替传统的Transformer中在残差连接后添加的前馈网络块（Feedforward Block），作者直接使用一个线性层来预测输出。

模型的数学定义

模型的定义如下：
公式（3）
$$f(X)=[X+A(X)X{W}_V{W}_O]W$$

这里，模型中的符号表示如下：

-$X\in {\mathbb{R}}^{D\times L}$是输入矩阵。
-$W\in {\mathbb{R}}^{L\times H}$是用于输出预测的线性层的权重矩阵。
-$W_V\in {\mathbb{R}}^{L\times d_m}$是用于将输入映射到注意力机制的投影矩阵之一。
-$W_O\in {\mathbb{R}}^{d_m\times L}$是用于从注意力输出重新映射回输入维度的投影矩阵。
-$A(X)$是输入序列$X$的注意力矩阵，它决定了注意力如何在不同特征维度之间分配。

注意力矩阵的定义

注意力矩阵$A(X)$通过下式计算：
公式（4）
$$A(X)=\text{softmax}\left(\frac{X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }}{\sqrt{d_m}}\right)\in {\mathbb{R}}^{D\times D}$$

其中：

-$W_Q\in {\mathbb{R}}^{L\times d_m}$和$W_K\in {\mathbb{R}}^{L\times d_m}$分别是查询（Query）和键（Key）的投影矩阵。
-$d_m$是模型的维度。
-$\text{softmax}$操作是按行计算的，这意味着$A(X)$的每一行都是一个概率分布（各行元素之和为1）。

注意力矩阵$A(X)$是一个右随机矩阵，这意味着它的每一行都是一个概率分布，用来表示对不同特征的关注程度。

关键点总结

• 简化设计：这个模型通过简化Transformer架构，仅保留注意力机制、残差连接和线性层，避免了不必要的复杂性。
• 残差连接：通过将输入$X$添加到注意力输出中，模型保持了原始信息的流动，增强了模型的表达能力。
• 直接预测：省略了前馈网络块，直接通过线性层进行输出预测，提高了模型的效率。

这个简化的Transformer架构是为了在保持性能的同时，减少计算复杂度，并直接针对前面提到的生成模型问题进行优化。

同时，作者介绍了他们提出的简化版Transformer架构，并对其进行了一些简要的评论和分析。以下是详细的解释：

架构的命名与讨论

作者将这种简化的Transformer架构称为“Transformer”，并对其特点进行了以下几点评论：

1. 通道级别的注意力（Channel-wise Attention）：

   • 在这个架构中，注意力矩阵$A(X)$是在通道（即特征）层面上应用的，而不是时间轴上。这种设计简化了问题的复杂性，并减少了模型过度参数化的风险。
   • 具体来说，由于注意力矩阵在通道维度上应用，矩阵$W$的形状与方程 (2) 中的$W_{\text{toy}}$相同，这样确保了模型参数的数量不会膨胀过多。
   • 由于在大多数情况下$L>D$（即时间序列的长度通常大于特征的数量），因此注意力矩阵的规模也较小，进一步降低了计算复杂性。

2. 通道级别注意力的相关性：

   • 在这种特定场景下，通道级别的注意力机制比时间级别的注意力机制更为合适。这是因为在生成模型中（方程 (2)），数据的生成遵循独立同分布（i.i.d.）的过程。
   • 由于数据之间没有复杂的时间依赖关系，关注特征（通道）之间的关系比关注时间序列中的时间依赖性更为重要。这使得通道级别的注意力机制在此处更为合理。

3. 模型参数的可识别性：

   • 作者提到，他们在接下来的部分中正式建立了模型中$W_{\text{toy}}$参数的可识别性（identifiability），这意味着在给定的模型和数据下，可以唯一确定这些参数。
   • 这一点对于模型的可靠性和可解释性非常重要，因为它确保了模型学到的参数具有明确的物理或统计学意义。

证明的说明

作者还提到，关于$W_{\text{toy}}$可识别性的正式证明被推迟到附录 E.2 部分。这表明他们已经通过数学证明展示了该模型在理论上的有效性，但出于篇幅或技术性考虑，将详细的推导放在了附录中。

总结2

简化版的Transformer架构通过在通道层面上应用注意力机制来解决过度参数化的问题，同时也更符合生成模型的数据特性（独立同分布）。这种设计不仅使模型更简单高效，还确保了模型参数的可识别性，从而提升了模型的可靠性和解释力。

命题 2.1（最优解的存在性）

命题 2.1（最优解的存在性）: 假设矩阵$W_Q$、$W_K$、$W_V$和$W_O$是固定的，并且定义$P=X+A(X)X{W}_V{W}_O\in {\mathbb{R}}^{D\times L}$。那么，存在一个矩阵$W\in {\mathbb{R}}^{L\times H}$使得$PW=X{W}_{\text{toy}}$当且仅当$\text{rank}([PX{W}_{\text{toy}}])=\text{rank}(P)$，其中$[PX{W}_{\text{toy}}]\in {\mathbb{R}}^{D\times (L+H)}$是一个块矩阵。

详细解释

这一定理涉及矩阵分解和线性代数的基本概念，具体而言是关于最优解存在性的条件。

条件解释

• 矩阵$P$：这是通过输入矩阵$X$和注意力机制$A(X)$作用后产生的矩阵，且$P$的大小为$D\times L$，其中$D$是特征数量，$L$是时间步的数量。

• 矩阵$W$：这个矩阵$W$是我们需要找到的，它的大小为$L\times H$，其中$H$是输出时间步的数量。

• 块矩阵$[PX{W}_{\text{toy}}]$：这个块矩阵是将矩阵$P$和矩阵$X{W}_{\text{toy}}$水平拼接而成的，得到的矩阵大小为$D\times (L+H)$。

命题的核心思想

• 必要条件与充分条件：命题的核心在于给出了存在最优解（即存在矩阵$W$满足$PW=X{W}_{\text{toy}}$）的必要条件与充分条件。具体来说，只有在块矩阵$[PX{W}_{\text{toy}}]$的秩（rank）等于$P$的秩时，才能存在这样一个矩阵$W$。

• 矩阵秩的意义：矩阵的秩反映了矩阵列向量的线性独立性。命题中的条件$\text{rank}([PX{W}_{\text{toy}}])=\text{rank}(P)$表明，为了保证存在矩阵$W$，矩阵$X{W}_{\text{toy}}$不能引入新的线性独立性，换句话说，$P$和$X{W}_{\text{toy}}$的列空间之间必须有一定的关系。

结论3

这个命题为确定矩阵$W$的存在性提供了一个清晰的代数条件。这个条件不仅帮助我们理解在什么情况下可以找到满足$PW=X{W}_{\text{toy}}$的$W$，还可以用于实际的算法设计中，确保所求解的矩阵$W$是存在的。

在这段文字中，作者进一步讨论了上述命题的实际验证以及在这个玩具实验中的应用。以下是详细的解释：

验证假设

作者指出，如果矩阵$P$是满秩的（full rank）并且$D<H$（即特征的数量小于输出时间步的数量），那么上面命题中的假设是成立的。在这个玩具实验中，确实满足这些条件，因此命题中的条件也就得到了验证。

优化问题的结果

由于$P$是满秩的，并且满足$D<H$，根据前述命题，优化问题中理论上存在无限多个最优的分类器$W$可以满足方程$PW=X{W}_{\text{toy}}$。也就是说，有很多种不同的$W$可以使模型在理论上达到最优解。

探讨注意力机制的作用

为了进一步理解注意力机制在解决问题中的作用，作者提出了一个新的模型，称为**“随机Transformer”（Random Transformer）**。在这个模型中，只有$W$被优化，而自注意力的权重$W_Q$、$W_K$、$W_V$、$W_O$在训练过程中保持固定，并按照Glorot & Bengio（2010）的初始化方法进行初始化。这种设置实际上使得这个Transformer模型表现得像一个线性模型。

• 随机Transformer的意义：由于自注意力权重在训练中保持不变，这个模型的表现与一个普通的线性模型非常相似。因此，这样的模型可以用来分析注意力机制的真正贡献。如果这个模型的表现与完整Transformer模型的表现接近，那么就说明注意力机制在这个任务中的作用可能是有限的。

比较不同模型的局部极小值

作者计划对比以下三种模型在优化后的局部极小值（即训练结束时模型达到的性能）：

1. 完整Transformer模型：使用所有参数进行优化，包括注意力权重和$W$。
2. 随机Transformer模型：只优化$W$，注意力权重保持固定。
3. Oracle模型：对应于方程(2)的最小二乘解（least squares solution）。这个模型是一个理想化的参考模型，它直接最小化方程(2)的误差，因而代表了最优的线性回归解。

目的

通过这种比较，作者希望揭示注意力机制在该任务中的实际作用。如果完整Transformer和随机Transformer的表现接近，并且都接近于Oracle模型的表现，那么这将表明在这个特定任务中，复杂的注意力机制可能并未带来显著的优势。

总之，这段文字的核心在于通过设计不同的模型设置来研究注意力机制的实际贡献，从而更好地理解Transformer模型在特定任务中的行为和性能。

在这段文字中，作者讨论了他们在图2中所展示的验证损失结果，并从中得出了一些关键的发现和结论。

主要发现

1. Transformer模型未能成功恢复$W_{\text{toy}}$：

   • 尽管Transformer架构设计得相对简单且合理，但在优化过程中，模型未能成功地恢复出生成数据时使用的矩阵$W_{\text{toy}}$。这表明即使是对于这样的简单任务，Transformer模型也表现出明显的泛化能力不足。

2. 固定自注意力矩阵后的改善：

   • 当将自注意力矩阵（$W_Q$、$W_K$、$W_V$、$W_O$ ）固定时（即在Random Transformer模型中），模型的泛化问题得到了部分缓解。尽管如此，Random Transformer模型仍未能达到最优状态，说明固定自注意力矩阵虽然有帮助，但不能完全解决问题。

3. 优化器的选择与学习率的影响：

   • 作者指出，这一现象在不同的优化器和不同的学习率下都保持一致（详细见附录C中的图15）。这意味着，泛化能力差的问题并不是由于优化器的超参数设置不当或优化器本身的选择不当所导致的。

4. 参数数量的影响：

   • Transformer模型和Random Transformer模型之间的参数数量仅有2%的增加，因此，泛化能力差的问题也不是由过拟合（通常由于过多的参数引起）导致的。

结论4

通过分析这些结果，作者得出结论：Transformer模型的泛化能力差主要是由于注意力模块在训练中的可训练性问题（trainability issues）所导致的，而不是由于其他常见的原因（如优化器选择、超参数设置或参数数量等）。这意味着在当前的实验设置中，Transformer的注意力模块可能引入了复杂性，使得模型难以有效地学习到数据的真实分布，从而导致泛化性能的下降。

这个结论为进一步研究Transformer模型的可训练性提供了方向，表明在某些情况下，模型的设计复杂性可能会导致训练困难，进而影响模型在验证集上的表现。

2.3

Intuition.

在这段文字中，作者深入探讨了Transformer模型在训练过程中所面临的损失景观（loss landscape）问题，尤其是注意力矩阵导致的泛化能力差的问题。以下是详细的解析：

直觉与观察

1. 注意力矩阵的行为：

   • 作者通过绘制不同训练周期中的注意力矩阵（如图3a所示）来帮助我们理解这个问题。观察显示，注意力矩阵在第一个训练周期后接近于单位矩阵，并且在后续训练中几乎没有发生变化。
   • Softmax函数在计算注意力矩阵时放大了矩阵值之间的差异，这导致注意力矩阵的变化更加有限，进一步加剧了矩阵趋近于单位矩阵的趋势。

2. 注意力的熵崩塌（Entropy Collapse）：

   • 作者指出这种现象代表了注意力矩阵熵的崩塌（entropy collapse）。熵崩塌指的是注意力矩阵的分布变得极为集中的现象，大部分注意力集中在少数元素上，这导致了模型的灵活性下降，使其难以有效地调整。
   • Zhai等人（2023年）的研究表明，熵崩塌是Transformer模型训练困难的原因之一。

3. 损失景观的锐度：

   • 作者还讨论了熵崩塌与Transformer模型损失景观锐度（sharpness）之间的关系。损失景观的锐度指的是模型在局部极小值附近的损失函数变化的速率。锐度越高，表示模型在该点附近的稳定性越差，容易受到扰动的影响，可能导致过拟合。
   • 通过图3b，作者验证了这一点：Transformer模型收敛到一个比Random Transformer更锐利的极小值（损失景观更陡峭），同时其注意力矩阵的熵显著降低。

4. 与Random Transformer的对比：

   • 与Random Transformer相比，Transformer模型的注意力矩阵熵在训练过程中显著降低，这反映出其注意力分布的集中化（即熵崩塌）。而Random Transformer的注意力矩阵保持固定，因此其熵在整个训练过程中保持恒定，最终收敛到一个更加平滑的极小值。

病态模式与问题根源

• 失败的根源：
  • 作者通过这些观察推断，Transformer模型在训练中表现不佳的原因主要在于注意力矩阵的熵崩塌和模型损失景观的锐度。这种组合使得模型容易陷入不理想的解，从而导致泛化性能的下降。
  • 换句话说，注意力机制在此种情况下并未如预期发挥作用，反而可能是导致模型泛化能力差的原因之一。

下一步研究方向

• 现有解决方案的调查：
  • 作者在接下来的部分中计划调查文献中现有的解决方案，以应对注意力熵崩塌和损失景观锐度的问题。这可能涉及对注意力机制的调整、优化方法的改进或者新的正则化策略，以改善Transformer的训练表现和泛化能力。

通过这段讨论，作者进一步强调了Transformer模型在训练中可能面临的内在挑战，并为后续的研究指明了改进的方向。这也提示研究者在设计和训练Transformer模型时，需要特别注意模型的可训练性和泛化能力，尤其是在使用注意力机制时。

Existing solutions.

在这段文字中，作者讨论了关于Transformer模型损失景观的现有研究成果，以及这些研究是如何解释Transformer在训练过程中表现不稳定且效果欠佳的。以下是详细解析：

Transformer模型的损失景观问题

1. 损失景观的锐度：

   • 近年来的研究（如Chen et al., 2022和Zhai et al., 2023）发现，Transformer模型的损失景观相比其他残差架构（residual architectures）要更加陡峭（即更为锐利）。这种锐度可能解释了Transformer模型在训练过程中表现不稳定，尤其是在小规模数据集上训练时性能欠佳的问题。
   • 损失景观的锐度越高，意味着模型在训练过程中更容易陷入不理想的局部极小值，并且这些解对小扰动非常敏感，导致模型难以泛化。

2. 不同研究中的锐度量化方法：

   • Chen et al. (2022)通过计算损失函数Hessian矩阵的最大特征值（${\lambda }_{\text{max}}$）来量化损失景观的锐度。Hessian矩阵描述了损失函数在某点的二阶导数信息，最大特征值越大，表示在该点的锐度越高。
   • Zhai et al. (2023)则通过注意力矩阵的熵来评估其锐度，展示了注意力矩阵熵崩塌（即熵快速下降）的现象，并将其与高锐度联系在一起。注意力矩阵的熵下降表明注意力集中在少数元素上，模型的灵活性降低，从而使损失景观更加陡峭。

研究结果的验证

• 图3b的验证：
  • 图3b的可视化结果验证了作者的假设，显示了Transformer模型在训练过程中出现的两个有害现象：损失景观的锐度增加和注意力矩阵的熵崩塌。
  • 一方面，带固定注意力的Transformer模型的损失景观锐度要比收敛到单位注意力矩阵的Transformer模型低几个数量级。这表明固定注意力可以缓解模型的锐度问题，从而可能提高泛化性能。
  • 另一方面，随着训练周期的增加，Transformer模型的注意力矩阵熵显著下降（与初始化时相比），这进一步印证了注意力矩阵熵崩塌现象的存在。

结论5

这些研究结果表明，Transformer模型在训练过程中遇到的锐度问题和注意力熵崩塌是其表现不佳的主要原因。这也解释了为什么Transformer模型，特别是在小规模数据集上的训练，会表现出不稳定性和较差的性能。通过固定注意力矩阵或者采取其他措施来降低损失景观的锐度，可能是提高Transformer模型泛化能力的有效途径。

作者的讨论指出了Transformer模型的一些关键挑战，并引导我们思考如何通过修改模型架构或优化策略来解决这些问题，从而提升Transformer在各种任务中的表现。

作者讨论了通过引入现有的两种方法来改善Transformer模型的泛化性能和训练稳定性。这两种方法分别来自于Chen et al. (2022)和Zhai et al. (2023)的研究。以下是这两种方法的详细解释：

方法一：Sharpness-Aware Minimization (SAM)

1. Sharpness-Aware Minimization (SAM)框架：

   • SAM是一种最近提出的优化框架，由Foret et al. (2021)提出。它旨在通过直接控制损失景观的锐度来提高模型的泛化能力。
   • 在原始的训练目标函数$L_{\text{train}}$（方程(1)）的基础上，SAM框架将其替换为一个新的目标函数$L_{\text{SAM train}}(\omega )$，其定义为：
     $$L_{\text{SAM train}}(\omega )=\underset{\Vert ϵ\Vert <\rho }{\max }{L}_{\text{train}}(\omega +ϵ)$$
   • 这里，$\rho >0$是一个超参数，控制扰动$ϵ$的范围。$\omega$是模型的参数。
   • 通过优化这个新目标函数，SAM试图在模型参数空间中寻找一个在小扰动下依然表现良好的解，从而减小损失景观的锐度，提高模型的稳定性和泛化能力。

2. 更多细节：

   • 这段文本提到有关SAM的更多细节可以在附录D.2中找到，特别是Remark D.1对超参数$\rho$的讨论。

方法二：光谱归一化与可学习标量的再参数化 (σReparam)

1. σReparam技术：
   • 这是一种由Zhai et al. (2023)提出的方法，用于通过再参数化权重矩阵来缓解损失景观的锐度问题。
   • 在这种方法中，所有的权重矩阵$W$被重新参数化为：
     $$W_c=\gamma \frac{\Vert W{\Vert }_2}{W}$$
   • 其中，$\gamma \in \mathbb{R}$是一个可学习的参数，初始值设为1。$\Vert W{\Vert }_2$表示矩阵$W$的2-范数（即矩阵中所有元素平方和的平方根）。
   • 这种再参数化方法结合了光谱归一化（通过$\Vert W{\Vert }_2$进行标准化）和一个可学习的标量$\gamma$，从而控制权重矩阵的幅度和方向，减少损失景观的锐度。

总结6

通过引入这两种方法，作者希望能找到一种有效的解决方案，既能提高Transformer模型的泛化能力，又能改善其训练稳定性。

1. SAM框架通过显式优化模型的锐度，使得模型对小扰动更加鲁棒，从而提升泛化性能。
2. σReparam技术通过再参数化权重矩阵，结合光谱归一化，进一步控制模型的锐度，改善模型的训练表现。

这两种方法提供了不同的途径来应对Transformer模型在训练中面临的挑战，作者计划通过实验探索它们在实际应用中的效果。

接下来，作者分析了为什么 σReparam 方法未能成功改善 Transformer 模型的表现，并解释了导致这一失败的原因。以下是详细解析：

背景回顾与 σReparam 方法的推导

1. σReparam 的推导背景：
   • Zhai et al. (2023) 从注意力熵的一个紧下界（tight lower bound）出发，证明了当$\Vert W_Q{W}_K^{\top }{\Vert }_2$被最小化时，注意力熵会呈指数级快速增加（参见 Zhai et al., 2023, 定理 3.1）。
   • 基于此，他们提出了方程(5) 作为一种简单的方法来最小化这个量，从而试图最大化注意力熵。

$$W_c=\gamma \frac{\Vert W{\Vert }_2}{W}$$

• 这里，$\gamma$是一个可学习的参数，初始值为1，目的是通过标准化$W$的 2-范数来调整权重矩阵的大小。

2. σReparam 在通道级注意力中的问题：
   • 虽然 σReparam 在理论上可以最大化注意力熵，但在通道级注意力机制的情况下，它可能会对注意力矩阵的秩产生负面影响。
   • 秩的降低意味着注意力机制无法有效地考虑所有特征，某些特征可能会被排除在注意力机制之外。这直接影响了模型对输入数据的全面理解，从而导致性能的下降。

命题 2.2 与直觉的形式化

1. 使用核范数作为代替：

   • 为了更好地理解这个问题，作者提出了命题 2.2。在这个命题中，他们考虑了核范数（nuclear norm，即奇异值的和）作为代数秩的一个平滑代理，这是分析矩阵秩问题时的常见做法（参见 Daneshmand et al., 2020; Dong et al., 2021）。
   • 核范数的使用可以帮助形式化地理解 σReparam 如何在通道级注意力机制中影响注意力矩阵的秩。

2. 命题 2.2 的作用：

   • 命题 2.2 直观上表明，σReparam 在通道级注意力机制中的应用可能导致注意力矩阵秩的下降。这种秩的下降意味着某些输入特征可能无法被有效地捕捉到，这使得模型的注意力机制不完整，从而影响了模型的性能。
   • 具体的证明被推迟到附录 E.3 中进行详细阐述。

结论7与意义

通过这段分析，作者明确指出了 σReparam 方法在通道级注意力机制中存在的潜在问题。虽然该方法理论上可以增加注意力熵，但在实践中，它可能会导致注意力矩阵的秩下降，从而削弱注意力机制对输入特征的捕捉能力。这一发现解释了为什么 σReparam 方法未能如预期那样提高 Transformer 模型的性能。

命题 2.2（核范数的上界）

通过提出命题 2.2，作者为理解 σReparam 方法的局限性提供了理论支持，也为未来改进注意力机制提供了新的思路。研究人员可能需要探索其他方法来平衡注意力矩阵的熵与其秩之间的关系，以设计出既能提高模型灵活性又不牺牲特征捕捉能力的注意力机制。

命题 2.2（核范数的上界）：

对于给定的输入序列$X\in {\mathbb{R}}^{D\times L}$，在假设$W_Q{W}_K^{\top }=W_K{W}_Q^{\top }⪰0$的情况下，有以下不等式成立：

$$\Vert X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }{\Vert }_{\ast }\le \Vert W_Q{W}_K^{\top }{\Vert }_2\Vert X{\Vert }_F^2$$

详细解释

1. 符号与定义：
   -$X$：输入矩阵，维度为$D\times L$，其中$D$是特征维度，$L$是时间步的数量。
   -$W_Q$和$W_K$：这些是注意力机制中的查询和键的权重矩阵。
   -$W_Q{W}_K^{\top }=W_K{W}_Q^{\top }⪰0$：这是一个关于权重矩阵的假设，意味着$W_Q{W}_K^{\top }$是一个半正定矩阵（所有特征值非负）。
   -$\Vert X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }{\Vert }_{\ast }$：这是矩阵$X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }$的核范数，核范数是矩阵所有奇异值之和。
   -$\Vert W_Q{W}_K^{\top }{\Vert }_2$：这是矩阵$W_Q{W}_K^{\top }$的谱范数，即其最大奇异值或最大特征值。
   -$\Vert X{\Vert }_F$：这是矩阵$X$的 Frobenius 范数，即矩阵所有元素平方和的平方根。

2. 命题的含义：

   • 这个命题给出了矩阵$X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }$的核范数的上界。具体来说，它说明了这个核范数可以通过矩阵$W_Q{W}_K^{\top }$的谱范数和矩阵$X$的 Frobenius 范数的平方来界定。
   • 核范数（即奇异值之和）越小，通常表示矩阵的秩较低，因此这个上界实际上限制了通过$W_Q{W}_K^{\top }$和$X$的范数来降低$X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }$的秩的能力。

3. 命题的应用：

   • 在之前的讨论中，作者提到 σReparam 方法可能会导致注意力矩阵的秩降低，这会影响模型的性能。这个命题正式化了这一点，通过提供核范数的上界，展示了在 σReparam 的操作下，注意力矩阵的秩可能会被显著限制。
   • 这意味着如果$W_Q{W}_K^{\top }$的谱范数较大，或者$X$的 Frobenius 范数较大，注意力矩阵的核范数也可能变大，从而影响注意力机制的效果。

4. 证明的推迟：

   • 证明被推迟到附录 E.3 中进行详细推导。这通常是因为证明可能涉及较复杂的数学推导，不适合放在主文中呈现。

总结8

命题 2.2 提供了一个关于核范数的上界，它表明了注意力机制中矩阵乘积$X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }$的核范数如何受到查询和键的权重矩阵以及输入矩阵本身的范数的影响。这一结果帮助我们理解 σReparam 方法可能对注意力机制带来的负面影响，即可能导致注意力矩阵的秩降低，从而削弱模型对输入特征的有效捕捉能力。这一见解对于改进 Transformer 模型的设计具有重要意义。

在这一段中，作者进一步讨论了命题 2.2 中的假设及其应用，同时解释了 σReparam 方法如何通过减少$\Vert W_Q{W}_K^{\top }{\Vert }_2$来降低注意力矩阵分子部分的核范数。以下是详细解析：

假设的有效性

1. 假设$W_Q=W_K$：
   • 文中提到的假设$W_Q{W}_K^{\top }=W_K{W}_Q^{\top }⪰0$在$W_Q=W_K$的情况下是成立的。这意味着，查询矩阵$W_Q$和键矩阵$W_K$相同，这使得它们的乘积是一个对称的半正定矩阵（所有特征值非负）。
   • 这一假设在之前的研究中已有探讨，特别是 Kim et al. (2021a) 的研究中，验证了这个条件的有效性。

σReparam 的作用

2. σReparam 降低核范数：
   • 命题 2.2 证实了通过 σReparam 方法减少$\Vert W_Q{W}_K^{\top }{\Vert }_2$会降低注意力矩阵的分子部分（即$X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }$）的核范数。由于核范数与矩阵的秩相关，降低核范数通常会促进低秩结构。
   • 核范数越低，通常表示矩阵的秩越低，意味着注意力矩阵可能更倾向于忽略一些输入特征，这与注意力机制设计的初衷相悖。

核范数与矩阵秩的关系

3. 核范数与秩的关系：
   • 虽然核范数与矩阵秩之间没有直接的一一对应关系（即核范数小并不总是意味着矩阵秩低），但核范数正则化通常用于鼓励低秩结构，尤其是在压缩感知领域（compressed sensing）中。
   • 在压缩感知领域，核范数正则化被广泛应用于矩阵完成任务中，用于通过最小化核范数来恢复低秩矩阵。这种技术被 Recht et al. (2010), Recht (2011) 和 Candès & Recht (2012) 等研究者深入探讨过。

总结9

作者通过引用相关研究，进一步阐明了 σReparam 方法的潜在影响，特别是在使用核范数正则化时可能导致注意力矩阵的秩降低。这一段说明了虽然核范数降低在某些领域是有益的（如压缩感知中），但在注意力机制中，它可能导致一些特征被忽略，从而影响模型的表现。

这一分析强调了在 Transformer 模型中使用 σReparam 方法时需要谨慎，特别是在可能导致注意力矩阵的低秩结构时，这种低秩结构可能并不适合所有的任务，尤其是当模型需要充分利用输入特征时。

这张图展示了Transformer模型的损失景观（loss landscape）分析，特别是在训练过程中的注意力矩阵的变化、模型收敛后的锐度（sharpness），以及熵崩塌现象。以下是对图中内容的详细解释：

(a) Transformer的注意力矩阵随训练过程的变化

• Epoch 0: 在训练开始时，注意力矩阵是随机初始化的，因此看起来比较模糊，没有明显的结构。
• Epoch 1: 经过一次训练后，注意力矩阵迅速接近于单位矩阵（identity matrix），这意味着大部分的注意力集中在对角线上，模型主要关注自身特征，而忽略了其他特征之间的相互关系。
• Epoch 15 & 35: 在后续的训练周期中，注意力矩阵几乎不再发生变化，始终保持接近单位矩阵的形式。这表明，模型在训练初期就锁定在了这种注意力模式上，未能充分利用输入数据中的其他信息。

(b) 损失景观的锐度与熵崩塌

• 左图（Sharpness at the end of the training）:

  • 该图展示了在训练结束时，不同模型的损失景观的锐度（通过最大特征值${\lambda }_{\text{max}}$衡量）。
  • Transformer：相比于其他模型，Transformer模型的损失景观显著更为锐利，其最大特征值${\lambda }_{\text{max}}$大约是Transformer+SAM的10000倍。这表明Transformer模型在训练过程中收敛到了一个非常锐利的局部最小值，这种锐度通常会导致模型对扰动的敏感性增加，泛化性能较差。
  • Transformer+SAM：使用SAM方法的Transformer模型损失景观较为平滑，最大特征值显著降低。这表明SAM方法有效地减小了损失景观的锐度，从而有助于模型的泛化。
  • Random Transformer：Random Transformer模型的损失景观最为平滑，这与其固定的注意力矩阵有关，使得模型在训练中更加稳定。

• 右图（Entropy collapse）:

  • 该图展示了不同模型在训练过程中的注意力矩阵的熵变化。
  • Transformer：随着训练的进行，Transformer模型的注意力熵迅速下降，确认了熵崩塌现象。这种熵的下降意味着注意力集中在少数元素上，模型失去了对不同特征之间关系的关注能力，进一步导致了损失景观的锐度增加。
  • Transformer+SAM：尽管熵在训练初期略有下降，但总体保持在一个较高的水平，这表明SAM方法在一定程度上防止了熵崩塌。
  • Random Transformer：由于注意力矩阵固定不变，Random Transformer模型的熵在整个训练过程中保持恒定，这也解释了其损失景观的平滑性。

总结10

这张图清晰地展示了Transformer模型在训练过程中面临的问题：

1. 注意力矩阵锁定：Transformer模型的注意力矩阵在训练初期就迅速接近于单位矩阵，导致模型在后续训练中难以调整，无法充分利用输入数据中的多样性信息。
2. 损失景观的锐度：Transformer模型的损失景观非常锐利，这种锐度通常会导致模型容易过拟合，并且对微小扰动非常敏感。
3. 熵崩塌：Transformer模型在训练过程中经历了显著的熵崩塌现象，进一步加剧了模型的锐度问题。
   通过引入SAM方法，可以显著减少损失景观的锐度，并在一定程度上防止熵崩塌，从而提高模型的泛化性能。
   在这一段文字中，作者总结了关于 σReparam 方法对注意力矩阵的影响，并为他们提出的新Transformer模型奠定了理论基础。以下是详细解释：

σReparam 方法的潜在问题

1. 命题 2.2 的适用性：

   • 虽然命题 2.2 不能直接应用于注意力矩阵$A(X)$，但作者提到在某些极端情况下，σReparam 可能导致注意力分数矩阵$X{W}_Q{W}_K^{\top }{X}^{\top }$变为秩为1的矩阵，且其所有行相同。这种现象在 Anagnostidis et al. (2022) 的研究中也有所探讨。

2. 注意力矩阵秩的坍塌：

   • 在这种情况下，经过按行计算的 softmax 操作后，注意力矩阵$A(X)$将保持秩为1。这意味着注意力机制在该情况下会高度集中，模型可能只关注到输入数据的一个维度或少数几个特征，而忽略了其他重要的信息。
   • σReparam 方法因此可能导致注意力矩阵的秩坍塌，正如在图7中通过核范数观察到的那样。核范数下降通常表明矩阵的秩减少，这在注意力机制中是一个潜在的问题，因为它削弱了模型利用输入数据全局信息的能力。

新模型的提出

3. 新模型的引入：
   • 基于这些发现，作者提出了一个新的简单的Transformer模型，旨在提高多变量时间序列预测的性能和训练稳定性。
   • 这个新模型在设计时考虑到了 σReparam 可能导致的注意力矩阵秩坍塌问题，因此可能采用了避免这种问题的机制或优化策略，从而在多变量时间序列预测任务中表现出色。

总结11

这一段的核心在于作者对 σReparam 方法的深入分析，特别是它如何可能导致注意力矩阵秩的坍塌。虽然命题 2.2 不能直接应用于注意力矩阵，但极端情况下的分析表明，σReparam 可能引发注意力矩阵的秩坍塌，这在实际应用中会对模型性能产生不利影响。基于这些理论和实验证据，作者提出了一个新的Transformer模型，以应对这些挑战，并改善多变量时间序列预测中的表现。

这个新模型的设计显然是为了避免σReparam引发的问题，从而在保持模型简洁性的同时，确保其在实际应用中的高性能和稳定性。

2.4. SAMformer: Putting It All Together

这张图展示了SAMformer模型的架构，包括各个关键组件的排列和它们之间的连接关系。以下是对这张图的详细解释：

模型架构的主要组件

1. RevIN（输入端）：

   • 在输入端，模型首先应用了Reversible Instance Normalization (RevIN)，这一步是为了处理时间序列数据中的分布变化（shift），确保输入数据在进入注意力机制之前被标准化。

2. Channel-Wise Self-Attention（通道级自注意力）：

   • 接下来，经过标准化的输入数据进入通道级自注意力机制。这一层是模型的核心部分，它通过通道级注意力矩阵来捕捉特征之间的相互影响，而不是时间步之间的关系。
   • 该注意力层通过关注不同特征之间的关系，帮助模型理解输入数据中的多维度信息。

3. Add（残差连接）：

   • 图中显示，注意力层的输出通过一个**残差连接（Add）**操作返回到主干网络中。这意味着模型在进行注意力计算时，还保持了输入数据的原始信息，有助于稳定模型训练并提升性能。

4. Linear（线性层）：

   • 注意力机制的输出经过线性层处理，进行进一步的特征提取和转换。这一层通常用于降低维度或进行特征组合，以适应后续任务（如预测或分类）。

5. RevIN${}^{-1}$（输出端）：

   • 最后，输出经过逆向的RevIN（RevIN${}^{-1}$）操作，将数据还原回原始分布。这一步确保了模型输出的数据与输入数据在同一尺度上，便于直接使用或进一步处理。

总结12

这个模型架构图展示了SAMformer的关键流程：

• 数据首先经过RevIN标准化。
• 然后通过通道级自注意力机制，捕捉特征之间的关系。
• 使用残差连接保留了输入的原始信息。
• 经过线性层转换后，再通过逆向RevIN还原数据分布。

这种设计结合了通道级注意力和实例归一化技术，目标是提高多变量时间序列预测任务中的性能和稳定性。

作者介绍了他们提出的新模型——SAMformer，并详细描述了它相对于基础模型的两项重要改进。以下是对这段文字的详细解释：

SAMformer 模型的核心架构

1. 基于方程 (3) 的架构：
   • SAMformer 的基础架构是基于之前讨论的方程 (3)，该方程描述了一个简化的Transformer模型，其中自注意力机制与线性层相结合，用于多变量时间序列预测。

SAMformer 的两个重要改进

1. Reversible Instance Normalization (RevIN)：

   • 第一个改进是引入了Reversible Instance Normalization（RevIN），这是由 Kim et al. (2021b) 提出的一种技术。RevIN 被应用于输入数据$X$上，以应对时间序列数据中的训练集和测试集之间的分布变化（shift）。
   • 在时间序列预测中，训练数据和测试数据往往来自不同的时间段，可能存在分布差异。RevIN 技术通过对输入数据进行归一化处理，有效地缓解了这种分布变化带来的影响，从而提高模型的泛化能力和稳定性。

2. 使用 SAM 优化：

   • 第二个改进是使用 Sharpness-Aware Minimization (SAM) 技术来优化模型。前面已经讨论过，SAM 通过使模型收敛到更平坦的局部极小值，从而减少损失景观的锐度，提升模型的泛化性能。
   • 结合 SAM 优化方法，可以有效地防止模型陷入过于锐利的局部极小值，这对提升模型的训练稳定性和在未见数据上的表现具有重要作用。

SAMformer 的整体设计

• 浅层Transformer模型：
  • SAMformer 是一个浅层的Transformer模型，它只包含一个编码器。这种设计在保持模型简洁性的同时，结合了上述两项关键改进，使得模型既能够高效处理时间序列数据中的分布变化，又能通过SAM优化实现更好的泛化性能。
  • 图4展示了这个模型的架构，通过引入RevIN和SAM，SAMformer在多变量时间序列预测任务中表现出色。

总结13

SAMformer 是在基础Transformer模型的基础上，通过引入 RevIN 和 SAM 优化这两个关键技术而开发的。RevIN 技术帮助模型有效应对训练数据和测试数据之间的分布差异，而 SAM 优化则确保了模型收敛到更平滑的局部极小值，提升了泛化性能。最终，这个浅层的Transformer模型（SAMformer）既简单又高效，特别适合用于多变量时间序列预测任务。

作者进一步解释了SAMformer模型的设计选择，特别是其使用的通道级注意力机制，并讨论了这一选择带来的关键优势。以下是详细的解释：

通道级注意力机制

1. 通道级注意力的表示：
   • SAMformer保持了通道级注意力机制，这种注意力机制由一个$D\times D$的矩阵表示（与方程 (3) 中一致），而不是其他模型中常见的$L\times L$矩阵（通常表示空间或时间级注意力）。
   • 在这里，$D$是特征维度的数量，而$L$是时间步长的数量。

通道级注意力的两个主要优势

1. 确保特征置换不变性：

   • 使用通道级注意力机制可以确保特征置换不变性（feature permutation invariance）。这是因为通道级注意力关注的是特征之间的相互影响，而不是特定时间步的顺序。这消除了对位置编码（positional encoding）的需求，位置编码通常用于在注意力层之前明确时间步的顺序。
   • 因此，通道级注意力能够更自然地处理多变量时间序列中的特征关系，不受特征排列的影响。

2. 降低时间和内存复杂度：

   • 通道级注意力机制还带来了计算效率的提升，因为$D\le L$在大多数实际数据集中是成立的。
     -$D\times D$的注意力矩阵相对于$L\times L$的矩阵要小得多，这意味着在计算和内存使用方面都更加高效。这对于处理大规模数据集尤其重要，可以显著减少模型的计算负担。

通道级注意力的影响

• 通道级注意力的作用：
  • 在SAMformer中，通道级注意力机制评估了在所有时间步内每个特征对其他特征的平均影响。这种机制允许模型捕捉特征之间的全局关系，而不仅仅是依赖于特定的时间步的局部信息。

消融研究的验证

• 消融研究：
  • 作者提到在附录C.4中进行了消融研究，验证了通道级注意力机制的有效性。消融研究通常通过逐步移除或替换模型中的某些组件来评估它们对模型性能的影响，进一步证明了该设计的合理性和优越性。

未来工作

• 下一步：
  • 作者提到，他们已经准备好在常见的多变量时间序列预测基准上评估SAMformer，以展示其优越的性能。通过这些评估，作者预计可以更全面地证明SAMformer在处理多变量时间序列任务中的优势。

总结14

SAMformer通过采用通道级注意力机制，带来了特征置换不变性和降低计算复杂度的双重优势。这个设计选择不仅使模型更高效，而且更适合于处理大规模、多特征的时间序列数据。消融研究的结果进一步支持了这种设计选择的有效性，表明通道级注意力机制在提高模型性能方面发挥了重要作用。