Background: State Spaces——Discrete-time SSM: The Recurrent Representation（离散时间 SSM：循环表示）

Discrete-time SSM: The Recurrent Representation（离散时间 SSM：循环表示）

离散输入序列的应用

背景

在处理离散输入序列（$u_0,u_1,\dots$）时，我们需要将连续时间状态空间模型（SSM）离散化。这意味着我们要将原本用于处理连续输入$u(t)$的模型调整为处理离散序列的方法。

步骤

为了实现这一点，我们使用一个步长$\Delta$来表示输入的分辨率。实际上，这些输入$u_k$可以看作是对一个隐含的连续信号$u(t)$进行采样的结果，即$u_k=u(k\Delta )$。

离散化方法

为了将连续时间 SSM 离散化，我们采用双线性方法（bilinear method），这种方法将状态矩阵$A$转换为近似矩阵$A_d$。具体步骤如下：

1. 状态更新方程：
   $$x_k=A_d{x}_{k-1}+B_d{u}_k$$
   其中，$A_d$和$B_d$是离散化后的矩阵。

2. 矩阵转换：
   $$A_d=(I-2<$$