BUY LOW, BUY LOWER 线性dp

题目描述

“低价购买"这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买;再低价购买”

每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(30000 范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循"低价购买;再低价购买"的原则。写一个程序计算最大购买次数。

这里是某支股票的价格清单：

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：
日期 2 5 6 10
价格 69 68 64 62

输入格式
*第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数
*第2行: N个数，是每天的股票价格。

输出格式
仅一行两个数:
最大购买次数
拥有最大购买次数的方案数
当2种方案“看起来一样“时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。如5 4 3 2 1 5 4 3 2 1中就只包含一种符合题目要求的方案。

样例数据
input：
12
68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
output：
4 2

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本题分为两问，第一问求最大购买次数，第二问是求方案书。

这句话是本题的重点。第一问就是在求最长下降子序列。把LIS问题倒过来就行了。
这不用过多描述了吧。

	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),f[i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(a[i]<a[j])
				f[i]=max(f[i],f[j]+1),ans=max(ans,f[i]);
	cout<<ans;

这就是求最长下降子序列的代码。

那么接下来就是求第二问，方案数，所以我们定义num[i]代表前i个数中最长子序列的个数，如果f[i]=f[j]+1(i>j)就代表i可以由j转移而来，所以j的方案数目包含在i中，那么num[i]=num[i]+num[j]。

那么该怎么去重呢，是可以写set，标记已经属于最大的数列即可。

还是有其他的方法：从后往前时，如果a[i]=a[j]就代表我们不需要再往前枚举更新方案数目了，因为j之前的方案数目已经包含在j中了，而如果f[i]=1代表i前面没有比它大的数，那么显然f[j]也应该等于1，就是说i与j方案数完全相同，这么来说如果我们保留i的方案数目，那么就会和j重复，而又因为i在j的后面所以我们显然是要保留j而把i的方案数目清零。

	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(f[i]==1)
	    	num[i]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
		{
            if(f[i]==f[j]+1&&a[j]>a[i])
                num[i]+=num[j];
            if(a[i]==a[j])
			{
                if(f[i]==1) 
        	        num[i]=0;
                break;
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
		if(ans==f[i]) tot+=num[i];
	printf("%d",tot);    

这是后一问的代码。合起来就是答案了。