自适应辛普森积分

最新推荐文章于 2022-10-16 16:44:23 发布

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分类专栏： ACM--计算几何

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_49959202/article/details/113778113

本文介绍了自适应辛普森积分的算法分析，该方法用于处理难以直接积分的函数，通过分治策略实现精度提升。文章提供了模板，并列举了多个典型例题，包括ACwing3074和QLU Regular Contest 003等，展示了如何在不同场景下应用辛普森积分求解问题。

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文章目录

自适应辛普森积分

自适应辛普森积分

1.算法分析

对于式子 $\int_a^b f(x) {\rm d}x$ ，如果这个式子很难直接积分的话，可以使用 辛普森积分 方法计算。

它是按照二次函数进行你和，设 $f(x) = Ax^2 + Bx + C$

然后推到后近似为：

$\int_a^b f(x) {\rm d}x = \frac{(b - a)(f(a) + f(b) + 4 * f(\frac{a+b}{2}))}{6}$

如果b - a越小，那么得到的答案就越精确。

但是这不一定精确，因此使用分治的方法进行不断逼近，将a ~ b划分为a ~ mid, mid ~ b，如果其中一段精度不够，那么就递归往下继续运算，直到精度够为止。这个方法叫做 自适应辛普森积分

2.模板

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const double eps = 1e-12;  // 可以接受的精度

double f(double x) {
   
     // 辛普森积分近似模拟的函数f
    return sin(x) / x;
}

double simpson(double l, double r) {
   
     // 辛普森积分模板函数，这里模拟二次函数
    auto mid = (l + r) / 2;
    return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;
}

double solve(double l, double r, double s) {
   
     // 计算从l ~ r的s的积分
    auto mid = (l + r) / 2;
    auto left = simpson(l, mid), right = simpson(mid, r);  // 计算左右边的辛普森积分
    if (fabs(left + right - s) < eps) return left + right;  // 如果处于精度范围内，直接返回
    return solve(l, mid, left) + solve(mid, r, right);  // 否则递归往下求解
}

int main() {
   
   
    double l, r;
    scanf<

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