斐波那契数列（动态规划）

斐波那契数列（动态规划）

斐波那契数列是一个经典的数列问题，其定义如下：

• F(0)=1
• F(1)=1
• 对于 n≥2，F(n)=F(n−1)+F(n−2)

斐波那契数列广泛应用于算法设计和数学问题中。使用动态规划可以有效地计算斐波那契数列。以下是详细的算法实现，包括原理、步骤、图示法表示步骤、代码关键行注释和时间复杂度。

1. 算法原理

动态规划的核心思想是将问题分解为更小的子问题，并存储子问题的结果以避免重复计算。具体步骤如下：

定义子问题：

• 设dp[i] 表示斐波那契数列的第 ii 项。

递推关系：

• dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

初始化：

• dp[0]=1
• dp[1]=1

迭代计算：

• 从 i=2 开始，依次计算 dp[i] 直到 dp[n]。

结果：

• 返回 dp[n] 作为斐波那契数列的第 n 项。

2. 算法步骤

初始化：

• 定义一个数组 dp[n+1] 用于存储斐波那契数列的每个值。
• 初始化 dp[0] = 1 和 dp[1] = 1。

迭代计算：

• 从 i = 2 开始，依次计算 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]，直到 i = n。

返回结果：

• 返回 dp[n] 作为斐波那契数列的第 nn 项。

3. 图示法表示步骤

假设我们要计算斐波那契数列的第 5 项 F(5)。

步骤 1：初始化

• dp[0] = 1
• dp[1] = 1

步骤 2：迭代计算

i = 2：

• dp[2] = dp[1] + dp[0] = 1 + 1 = 2

i = 3：

• dp[3] = dp[2] + dp[1] = 2 + 1 = 3

i = 4：

• dp[4] = dp[3] + dp[2] = 3 + 2 = 5

i = 5：

• dp[5] = dp[4] + dp[3] = 5 + 3 = 8

最终结果

• F(5)=8

4. 代码关键行注释

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 斐波那契数列（动态规划）
int fib(int n) {
    if (n == 0) return 1; // 递归终止条件，n=0时返回1
    if (n == 1) return 1; // 递归终止条件，n=1时返回1
    vector<int> dp(n + 1); // 定义dp数组
    dp[0] = 1; // 初始化dp[0]
    dp[1] = 1; // 初始化dp[1]
    for (int i = 2; i <= n; i++) { // 迭代计算dp[i]
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 递推公式
    }
    return dp[n]; // 返回结果
}

int main() {
    int n = 5; // 定义n的值
    cout << "The " << n << "th Fibonacci number is " << fib(n) << endl; // 输出结果

    return 0; // 程序结束
}

5. 时间复杂度

• 时间复杂度：
  • 动态规划的时间复杂度为 O(n)，因为需要计算每个 dp[i] 从 2 到 n。

6. 总结

动态规划是一种高效的算法，用于解决斐波那契数列问题。通过存储子问题的结果，可以避免重复计算，从而提高效率。该算法的时间复杂度为线性级别，适用于各种大小的 n。