hdu1 1005 Minimum spanning tree 线性筛+前缀和

erci_fc2336

于 2022-03-06 10:11:57 发布

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分类专栏： study hdu 文章标签： c++ 学习

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这篇博客探讨了如何利用线性筛法求解给定n-1个点的最小生成树问题，其中边权重定义为两个点的最小公倍数。作者提出通过建立包含关系的边来最小化lcm，并指出对于质数，将其与2相连可以得到最优解。通过预处理质数的前缀和，可以在线性时间内求得总边权和，从而得到最小生成树的权重。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定n-1个点，编号从2到n，两点a和b之间的边权重为lcm（a，b）。请找出它们形成的最小生成树。 (2<=n<=10000000)

思路：

要让lcm最小，容易想到一种是包含关系，即lcm(a, b)==a, 让每个数向其约数连边。对于没有约数的质数，将其与2相连是最优的，因为在> 不能包含的情况下，最小的倍数就是2倍。
总的边权和为（质数的和×2+合数的和），可以用线性筛法预处理出前缀和，复杂度O(n)。

accode:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7 + 10;
#define ios std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0) 
ll v[maxn], p[maxn], cnt = 0, s[maxn];

inline void init()
{
    memset(s, 0, sizeof(s));
    //线性筛 
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(v[i] == 0)
            p[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt; j++)
        {
            if(i * p[j] >= maxn)
                break;
            v[i*p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0)
                break;
        }
    }
    //前缀和 
    for(int i = 3; i < maxn; i++)
    {
        if(v[i] == 0)//是质数即加上两倍的这个数 
            s[i] = s[i-1] + 2 * i;
        else   s[i] = s[i-1] + i;//是合数，直接相加 
    } 
}

int main()
{
    ios;
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", s[n]);
    }

    return 0;
}