背包问题

1. 01背包问题

有N件物品和一个容量是V的背包，每件物品只能使用一次，第i件物品的体积是$V_i$，价值是$W_i$，求将哪些物品放入背包，可以使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N],v[N],w[N];
int n,m;
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= n;i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        for(int j = 1 ;j<=m;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//需要满足第i件物品的体积不大于总体积j
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
    
    /* 待优化
    
    
    

    */
##
}

2. 完全背包问题

有N件物品和一个容量是V的背包，每件物品可以无限件使用，第i件物品的体积是$V_i$，价值是$W_i$，求将哪些物品放入背包，可以使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

• 集合划分：f[i][j] 从前i种货币中选择，以最后一个不同点作为划分依据 对于第i种货币，可以选择0个、1个、2个····k个 也要满足k*w[i] <= j，因为要在背包能够装的下的情况下
• 状态计算：f[i][j] = Max ( f[i-1][j] , f[i-1][j-v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i] ),解释：f[i-1][j]表示从前i种货币中选，第i种货币选择0个，那么就等同于前i-1种货币中选择且总价值为j的方案数；f[i-1][j-w[i]]表示从前i种货币中选择，第i种货币选择1个，那么就等同于从前i-1种货币中选择且总价值为j-w[i](因为第i种货币选择了一个，所以总价值要减去1个第i种货币的价值)；f[i-1][j-k*w[i]]表示从前i种货币中选择，第i种货币选择k个，那么就等同于从前i-1种货币中选择且总价值为j-k*w[i](因为第i种货币选择了k个，所以总价值要减去k个第i种货币的价值)；
• 优化：f[i][j] = Max ( f[i-1][j] , f[i-1][j-v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i] ),
  对于f[i][j-v[i]] = Max ( f[i-1][j-v[i]] , f[i-1][j-2*v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + (k-1) * w[i] )
  而f[i][j-v[i]] = Max ( f[i-1][j-v[i]] , f[i-1][j-2*v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + (k-1) * w[i] )比 Max(f[i-1][j-v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i] ))整体少个w[i]
  则f[i][j] = Max ( f[i-1][j] , f[i][j-v[i]] + w[i] )

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N =1010;
int f[N][N],v[N],w[N];
int main(){
    int n , m;
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j] , f[i][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[n][m];
    /*  优化
        
    
    
    
    
    */
}

3. 多重背包问题

有N件物品和一个容量是V的背包，第i种物品最多有$S_i$件，第i种物品的体积是$V_i$，价值是$W_i$，求将哪些物品放入背包，可以使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

f[i][j] = Max ( f[i-1][j] , f[i-1][j-v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i] ) ----k的取值范围：1、2、···、S[i]
朴素做法：O($n^3$)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110 ;
int n , m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++){
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
}

优化做法：
对于f[i][j] = Max ( f[i-1][j] , f[i-1][j-v[i]] + w[i] , ···· , f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i] ) ----k的取值范围：1、2、···、S[i]
比如第i个物品的个数是$S_i$=1023，也就是说对于第i个物品，可以选择0件、1件、···、1023件。那么可以将这1023件分为10组，第1组1件，第2组2件，第3组4件，依次按照2的幂分，第10组是$2^9$=512件，这10组可以进行任意搭配（选用每组的个数最多是1）能够凑出来0~1023件，

• $2^n$=2^n-1+2^n-1,2^n-1=2^n-2+2^n-2,那么$2^n$=2^n-1+2^n-2+2^n-2,那么$2^n$=2^n-1+2^n-2+2^n-3+····+2¹+2¹ ,那2^n-1-1 = 2^n-1+2^n-2+2^n-3+····+2¹+2⁰
• 对于一般的S[i]: 2^k<S,2^k+1>S,那么2^k+c = S (c<2^k),那么1、2、4、···、2^k、c就可以把0~S都凑出来 （每种只限最多选择一次）
  比如S=200，2⁶=64<200,2⁷>200,那么可以用1、2、4、8、16、32、64、73凑出0~200，因为1、2、4、···、64可以凑出0 ~ 127，那么再加73就可以凑出73 ~200，那么1、2、4、8、16、32、64、73就可以凑出0 ~200；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 25000,M = 2010;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N];
int main(){
    cin >> n >> m;
    int res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
            int k = 1;
            int a,b,s;
            cin >> a>>b>>s;
            while(k<=s){
                res ++;
                v[res] = a*k;
                w[res] = b*k;
                s -= k;
                k *= 2;
            }
            if(s>0){
                res ++;
                v[res] = a*s;
                w[res] = b*s;
            }
    }
    n = res;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
}

4.分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 v_ij，价值是 w_ij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

其中v[i,k] 代表第i组中的k件物品的体积 ， w[i,k] 代表第i组中的k件物品的价值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int v[N][N],w[N][N];
int f[N],s[N];
int n,m;
int main(){
    cin >> n>>m;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        cin >> s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++){
            cin >> v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }
    for(int  i =1;i<=n;i++){
        for(int j = m;j>=0;j--){
            for(int k = 0;k<s[i];k++){
                if(v[i][k]<=j) f[j] = max(f[j] , f[j-v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
    cout << f[m];
}