完全背包问题总结

最新推荐文章于 2024-03-31 13:08:35 发布

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本文深入解析了完全背包问题的核心概念与解决方法，并通过伪代码和具体代码实例展示了如何将其转化为01背包问题来解决。重点突出了完全背包问题与01背包问题的区别，以及如何利用动态规划算法进行求解。

完全背包问题：

一问题描述：
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。
第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二问题实质：
(1)与 01 背包不同，每个物品有多个，每种物品可以选择k个。
     且必须有 c[i] * k <= v 。

解决方法：
一
(1) 将完全背包转化为01背包问题，即第i种物品可以变成k个物品，且c[i] * k <= v 。
(2) 然后对问题用01背包的算法进行解决。

二
   利用如下伪代码：
     for(int i = 0 ; i < T ; i++)
        for(int v = c[i] ;v <= V ;v++)
           f[v] = max(f[v] , f[v - c[i]] + w[i]) ;

     此处问题发现与01背包问题，只有在v的循环方向上不同，原因是

     01背包必须保证，每个物品只选择一次，而第i个物品选择的必然是
     第i-1次的物品，而不允许含有第i次得选择。

     完全背包则保证，每个物品均可以选择多个。
     所以第i个物品选择时，可以包含本次的各个重量的选择。

三代码如下：

#include <iostream>
 using namespace std ; 
 const  int V = 1000 ;  //总的体积 
 const  int T = 5 ;    //物品的种类 
 int f[V+1] ;
 #define EMPTY                                      //可以不装满 
 int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};        //价值 
 int c[T] = {500 , 600 , 400 , 400 , 400};        //每一个的体积 
 const int INF = -66536  ;
   
 int package()
 {
 //#ifdef EMPTY
    for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满
      f[i] = 0 ;    
 /*#else
    f[0] = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满
      f[i] = INF ;   
 #endif
 */   
    for(int i = 0 ; i < T ; i++)
    {
      for(int v = c[i] ; v <= V ;v++)               //必须全部从V递减到0
         {                         
            f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v])  ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。         
         }                 
    }
    return f[V] ;        
 }
 
 int main()
 {
      
   int temp = package() ;   
   cout<<temp<<endl     ;   
   system("pause")      ;
   return 0 ;    
 }