MIT线性代数Linear Algebra公开课笔记第六讲矩阵的列空间和零空间（lecture 6 Column Space and Nullspace）

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本文深入探讨线性代数中的矩阵列空间与零空间概念，解析其构造方法与数学意义，揭示矩阵与线性方程组之间的内在联系。

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本节是Gilbert Strang的MIT线性代数Linear Algebra公开课中【第六讲矩阵的列空间和零空间（lecture 6 Column Space and Nullspace）】的笔记，参考他在 MIT Linear Algebra课程网站上公开分享的 lecture summary (PDF) & Lecture video transcript (PDF)等文档，整理笔记如下，笔记中的大部分内容是从 MIT Linear Algebra课程网站上的资料中直接粘贴过来的，本人只是将该课程视频中讲述的内容整理为文字形式，前面的章节可在本人的其他博客中找到（此处戳第一讲，第二讲，第三讲，第四讲，第五讲），后面的章节会按照视频顺序不断更新~

文章目录

- lecture 6 Column Space and Nullspace

lecture 6 Column Space and Nullspace

一. 向量空间和子空间（Vector spaces and Subspaces）

1. Vector space requirements

$v + w$ and $c v$ are in the space;（加法和数乘都是封闭的）；

all combinations $c v + d w$ are in the space.（线性组合是封闭的）；

综上，即：所有的线性组合都在空间中。

Example 1 ：在三维空间 $\mathcal{R}^3$ 中，它本身 $\mathcal{R}^3$ 是一个向量空间.

2. Subspaces

子空间必须包含原点；

Example 2 ：在三维空间 $\mathcal{R}^3$ 中，经过原点的平面（P）是 $\mathcal{R}^3$ 的子空间，经过原点的直线（L）是 $\mathcal{R}^3$ 的子空间；

1）子空间的并集（union）

——假设取两个子空间（如P和L）的并，即P∪L = all vectors in P or L or both，那么P∪L是子空间吗？

此问题等同于：平面P中的向量和直线L中的向量放在一起，得到的向量集合是子空间吗？

——不是。因为加法不封闭，无法满足向量空间的条件（取P中某向量和L中某向量相加，结果不在直线或平面上，即不在两者的并集上）。

2）子空间的交集 （intersection）

——假设取两个子空间（如P和L）的交集，即P∩L = all vectors that are in both P and L，则P∩L是子空间吗？

——对于Example 2来说，交集只有零点，因此是。但是，如果推广到任意两个子空间的交集，假设任意两个子空间S和T，则S∩T仍然是子空间。

二. 矩阵的列空间（Column space of $A$ ）

1. 如何构造的矩阵列空间

Example 2 ：
$A=\left[\begin{array}{lll} {1} & {1} & {2} \\ {2} & {1} & {3} \\ {3} & {1} & {4} \\ {4} & {1} & {5} \end{array}\right]$
—— $A$ 的列向量均为 $\mathcal{R}^4$ 中的四维向量，因此 $A$ 的列空间（记作 $C (A)$ ）是 $\mathcal{R}^4$ 的子空间。现已知该子空间中已经包含 $A$ 中的三个列向量，则该如何将其扩充为子空间？

——只要取所有列的线性组合即可，即 $A$ 的列空间由所有列的线性组合构成，即为一个子空间，这是包含这三个列向量的最小子空间。

2. 矩阵与线性方程组的联系

将矩阵与线性方程组联系起来，因为抽象的定义背后有实际的目的。

——Does $A x = b$ always have a solution for every $b$ ?

——No. 因为 $A x = b$ 有四个方程，但只有三个未知数，具体形式如下：
$Ax=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {2} & {1} & {3} \\ {3} & {1} & {4} \\ {4} & {1} & {5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {b_1} \\ {b_2} \\ {b_3} \\ {b_4} \end{array}\right]=b$ 方程组不总是有解，因为3个列向量的线性组合无法充满整个四维空间，因此可能有一大堆 $b$ 向量不是这3个列向量的线性组合。另外，一般情况下，四个方程三个未知数是无解的，但是有时是有解的，那么

——Big question: 什么样的右侧向量 $b$ 才能让方程组 $A x = b$ 有解？

Which vectors $b^{'} s$ allow this system $A x = b$ to be solved?？

——很显然，有几种明显的有解的情况：

当 $b=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$ 时，方程组为 $A x = 0$ 永远有解，即 $x=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$ ;
当 $b=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3} \\ {4}\end{array}\right]$ 时，解为 $x=\left[\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$ ；
当 $b=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]$ 时，解为 $x=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]$ ；
当 $b=\left[\begin{array}{l}{2} \\ {3} \\ {4} \\ {5} \end{array}\right]$ 时，解为 $x=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]$ ；

综上， $A x = b$ 有解，当且仅当右侧向量 $b$ 属于 $A$ 的列空间，即只有 $b$ 是各列的线性组合时，方程组 $A x = b$ 才有解（ $x$ 的各元素是相应的线性组合系数）。

3. 矩阵各列的相关性（主列）

——矩阵 $A$ 的三列线性无关吗？（Are the columns of A independent?）

此问题等同于：如果将这三列进行线性组合，是否每一列对组合都有贡献？即能否去掉某一列，得到同样的列空间？

——可以。比如，我们可以去掉第三列，因为第三列等于前两列之和，我们已经有了前两列的线性组合，加入第三列后，对向量空间毫无影响，则前两列成为“主列”，而第三列不是主列。

——可以只去掉列一而不是列三吗？

——可以。

综上， Example 2中矩阵的列空间可以描述为 $\mathcal{R}^4$ 中的二维子空间。

关于主列的选取，一般是优先考虑靠前的线性无关向量，则可以丢掉靠后的线性相关向量而不影响向量空间。

三. 矩阵的零空间（Nullspace of A）

1. 零空间定义

零空间（记作 $N (A)$ ）不包含右侧向量 $b$ ，它只包含 $x$ ，即零空间指的是： $A x = 0$ 的所有解 $x=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\{x_{2}} \\{x_{3}}\end{array}\right]$ 。

2. 零空间与列空间的区别&如何构造零空间

零空间和列空间都关心矩阵各列的线性组合，但是列空间关心的是组合结果，而零空间更关心线性组合的系数。

Example 3：（仍然延用Example 2中的矩阵为例）
$Ax=\left[\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {2} \\ {2} & {1} & {3} \\ {3} & {1} & {4} \\ {4} & {1} & {5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right]$
由于 $x$ 包含三个分量，因此零空间是 $\mathcal{R}^3$ 的子空间，因此解向量 $x$ 属于 $\mathcal{R}^3$ , 而列空间属于 $\mathcal{R}^4$ 。

显然， $\left[\begin{array}{r}{0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$ 是方程组的解，不管矩阵是什么，零空间显然包含0（零空间也是向量空间），另外， $\left[\begin{array}{r}{1} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right]$ 也是方程组的解；

综上，方程组 $A x = 0$ 的所有解为： $c\left[\begin{array}{r}{1} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right]$ ，即使得矩阵 $A$ 的列的线性组合等于 $0$ 的所有可能情况，该解在几何上是一条直线，因此，此零空间是一条 $\mathcal{R}^3$ 中的直线。

3. 证明零空间是向量空间

——为什么零空间可以称之为“空间”，即为什么零空间是向量空间？

问题等同于：Check that the solutions to $A x = 0$ always give a subspace.

——只需证明：对任意一个解 $v$ 和另一个解 $w$ , 他们的和仍然是解（加法封闭）.即：If $A v = 0$ and $A w = 0$ , then $A (v + w) = 0$ ，即若 $v$ 在零空间中， $w$ 在零空间中，那么 $v + w$ 也在零空间中，显然这是成立的，因为 $A (v + w) = A v + A w = 0 + 0 = 0$ 。同理，可以证明：如果 $A v = 0$ ，那么 $A$ 乘以 $v$ 的任意倍数仍然等于 $0$ ，即 $A (12 v) = 12 A v = 0$ 。

4. 理解向量空间

需理解什么是向量空间的关键？（what’s the point of a vector space? ）

Example 4：（将Example 3中的例子换一个右侧向量 $b$ ）
$Ax=\left[\begin{array}{lll} {1} & {1} & {2} \\ {2} & {1} & {3} \\ {3} & {1} & {4} \\ {4} & {1} & {5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {3} \\ {4} \end{array}\right]=b$
要求此方程组的解，很显然， $\left[\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$ 是一个解，但是它自己不能构成向量空间。现在右侧向量已经不是 $0$ 了，因此现在考虑的不是零空间。有以下两个问题：

如果有其他解，那么他们能够成子空间吗？

现在考虑的是 $\mathcal{R}^3$ 中所有满足 $Ax=b（b\not=0）$ 的解 $x$ 构成向量空间吗？

显然不构成。因为解中不包含 $0$ ，连基本要求都达不到，因此不是向量空间。
解是什么样的？

除了 $\left[\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]$ ，还有 $\left[\begin{array}{l} {0} \\ {-1} \\ {1}\end{array}\right]$ 等，因此解有很多个，但他们不构成子空间，在几何上，它其实是一个不穿过原点的平面或者是一条不穿过原点的直线，在本例中，解构成的是一条不穿过原点的直线。

向量空间需要穿过原点，如果考虑的是 $x$ ，那么 $x$ 必须是 $A x = 0$ 的解。

四. 总结

构建两种空间的方法：

对于列空间，通过取矩阵各列的线性组合，构造出子空间（从向量出发，通过线性组合构造子空间）。
对于零空间，一开始并不知道零空间中有什么向量，我们需要自己找，已知的信息只有向量必须满足的方程组，即通过让 $x$ 满足特定条件来得到子空间。