傅里叶低通滤波、高通滤波、带通滤波的原理及应用场景

最新推荐文章于 2025-02-18 03:47:22 发布

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傅里叶低通滤波、高通滤波、带通滤波的原理及应用场景

摘要： 本文全面且深入地剖析傅里叶低通滤波、高通滤波与带通滤波的原理。傅里叶变换能将信号从时域转换至频域，借此可对频域成分实施操作以达成不同滤波目的。低通滤波使低频信号通过而阻拦高频信号；高通滤波反之；带通滤波则允许特定频段信号通过。此外，本文详细探究这些滤波技术在图像处理、通信系统、音频处理以及生物医学信号处理等多领域的丰富应用场景，彰显其于信号处理领域的关键地位与广泛影响力。

一、引言

信号处理在科学与工程众多领域占据核心地位，其旨在对信号展开分析、变换与滤波等操作，从而提取有价值信息或消除噪声等干扰因素。傅里叶变换作为极具效力的信号处理手段，为滤波操作赋予频域视角。借助傅里叶滤波，能够依据信号频率成分差异对信号进行选择性处理，其中低通、高通与带通滤波属于最为基础且常用的滤波类型。

二、傅里叶变换基础

在深入探究滤波原理前，务必先掌握傅里叶变换。对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换公式为：

$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

在此，X(f)代表信号x(t)的频域呈现形式，f表示频率， $j=\sqrt{-1}$ 。傅里叶变换能够把时域信号拆解为不同频率正弦与余弦波的叠加。

针对离散信号x[n]（n为整数），离散傅里叶变换（DFT）表达式为：

$X[k]=\sum_{n = 0}^{N - 1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$

其中，N为离散信号的长度， $k = 0,1,\cdots,N - 1$ 。快速傅里叶变换（FFT）作为高效计算 DFT 的算法，极大提升了傅里叶变换的运算速率。

三、傅里叶低通滤波原理

（一）原理

于频域范畴内，低通滤波旨在留存低频成分，削减或去除高频成分。设原始信号的傅里叶变换为，低通滤波器的频率响应为X(f)。对于理想低通滤波器而言，其频率响应呈现如下形式：

$H(f)=\begin{cases}1, &|f|\leq f_c\\0, &|f|> f_c\end{cases}$

式中， $f_c$ 代表截止频率。滤波后信号Y(f)的傅里叶变换为 $Y(f)=X(f)H(f)$ 。对Y(f)执行逆傅里叶变换操作，便可获取时域中的低通滤波后信号y(f)。

在实际应用场景中，理想低通滤波器难以实现，因其冲激响应具有非因果性（即响应在激励之前便已出现）。通常会采用诸如巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫低通滤波器等近似滤波器。这些滤波器在通带（低频部分）内具备一定的衰减特性，在阻带（高频部分）内展现出良好的衰减效能，并且拥有可实现的冲激响应。例如，巴特沃斯低通滤波器的频率响应函数为：

$|H(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right)^{2n}}}$

其中n为滤波器的阶数，阶数越高，滤波器在通带和阻带的性能越好，但计算复杂度也相应增加。

（二）应用场景

图像处理
- 去除图像噪声：在图像采集过程中，高频噪声极易混入，如椒盐噪声表现为图像中随机出现的黑白像素点，高斯噪声则使图像呈现出均匀的颗粒状干扰。低通滤波可有效削弱这些高频噪声，使图像趋于平滑。以医学图像处理为例，在对 X 光图像、CT 图像进行处理时，低通滤波能够显著降低噪声对病变区域精准判断的干扰。比如，在肺部 CT 图像中，低通滤波可去除因扫描设备或电子元件产生的高频噪声，使医生能更清晰地观察肺部组织的细节，如肺结节的边缘、纹理等特征，从而提高疾病诊断的准确性。
- 图像模糊处理：通过合理选定截止频率，低通滤波能够模拟出模糊效果。在特定艺术创作领域或隐私保护情境下，这种模糊处理颇具应用价值。例如，在监控图像领域，为保护个人隐私，可对监控画面中的人脸区域实施低通滤波模糊处理。具体而言，当截止频率设定较低时，人脸的细节特征如眼睛、鼻子、嘴巴等高频信息被大量滤除，仅保留面部轮廓等低频信息，从而实现有效的隐私保护，同时又能在一定程度上保留人物的身份识别特征，如发型、头部形状等。
通信系统
- 信号重建：在数字通信体系中，信号历经采样与量化环节后，往往会引入高频量化噪声。低通滤波可用于原始信号的重建工作，有效消除量化噪声，提升信号质量。例如，在音频信号的数字传输进程中，接收端借助低通滤波器对接收的信号进行处理，从而恢复出原始音频信号。以手机通话为例，语音信号在发送端被采样和量化后传输，接收端的低通滤波器能够滤除因量化过程产生的高频噪声，使通话声音更加清晰、自然，减少杂音干扰，提升通话质量。
音频处理
- 去除高频杂音：音频信号中时常存在如嘶嘶声之类的高频杂音，低通滤波可将其有效去除。以老旧黑胶唱片转录的音频文件为例，由于唱片在播放和录制过程中可能受到多种因素影响，如唱针与唱片的摩擦、电磁干扰等，往往会产生高频划痕噪声。低通滤波能够针对性地削弱这些高频噪声成分，使音频质量得到显著改善，还原音乐原本的音色和旋律，让听众获得更好的听觉体验。

四、傅里叶高通滤波原理

（一）原理

高通滤波的核心目标是保留高频成分，衰减或去除低频成分。理想高通滤波器的频率响应呈现如下特征：

$H(f)=\begin{cases}0, &|f|\leq f_c\\1, &|f|> f_c\end{cases}$

滤波后信号 $Y(f)=X(f)H(f)$ ，经逆傅里叶变换后可得到时域中的高通滤波后信号y(t)。在实际应用中，常采用近似的高通滤波器，如巴特沃斯高通滤波器等。这些滤波器在低频部分展现出良好的衰减特性，在高频部分则允许信号顺利通过，并且其冲激响应具备可实现性。巴特沃斯高通滤波器的频率响应函数可表示为：

$|H(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_c}{f}\right)^{2n}}}$

其中n为滤波器的阶数，随着阶数升高，其在通带和阻带的性能也会相应提升，但计算复杂度会增加。

（二）应用场景

图像处理
- 边缘检测：图像的边缘信息与高频成分紧密相关。高通滤波能够强化图像的边缘，为后续边缘提取与目标识别工作提供便利。在机器视觉系统中，以工业零件图像为例，对其进行高通滤波处理后，图像中的边缘信息得以增强，如零件的轮廓、棱角等边缘部分在滤波后的图像中变得更加明显。随后，再运用边缘检测算法，能够更精准地确定零件的形状、尺寸等关键信息，从而实现对工业零件的质量检测、自动化装配等操作。例如，在汽车零部件生产线上，通过高通滤波和边缘检测技术，可以快速检测出零部件的边缘缺陷，确保产品质量。
通信系统
- 分离信号和直流分量：在部分通信信号中，直流分量与交流信号常常混合存在。高通滤波可用于剔除直流分量，仅保留交流信号部分。以电力线通信为例，电力线上传输的信号包含大量的直流分量以及携带数据的交流信号。通过高通滤波器，可以将高频的交流信号从混合信号中分离出来，避免直流分量对数据传输的干扰，保障通信的稳定性和可靠性。例如，在智能家居系统中，电力线通信利用高通滤波技术实现了设备之间的数据传输，如智能电表与智能家电之间的数据交互，使家庭能源管理更加智能化。
音频处理
- 强调高音部分：在音频均衡器中，高通滤波能够用于强化音频的高音部分，使声音更具明亮度。在音乐制作环节，对于某些需要凸显高频乐器（如三角铁、钹等）独特音色的音乐作品，可运用高通滤波技术来增强其效果。例如，在交响乐录制中，通过对高音弦乐器和打击乐器所在声道进行高通滤波处理，能够使其声音更加清脆、明亮，增强音乐的层次感和表现力，使听众能够更清晰地感受到音乐中的细节和情感表达。

五、傅里叶带通滤波原理

（一）原理

带通滤波允许特定频段内的信号顺利通过，而对频段外的信号予以衰减。理想带通滤波器的频率响应具备如下形式：

$H(f)=\begin{cases}1, &f_{L}\leq|f|\leq f_{H}\\0, &\text{...}\end{cases}$

其中， $f_{L}$ 表示下限截止频率， $f_{H}$ 表示上限截止频率。滤波后信号 $Y(f)=X(f)H(f)$ ，经逆傅里叶变换可得到时域中的带通滤波后信号y(t)。在实际应用中，通常采用近似的带通滤波器设计方法，如椭圆带通滤波器等。这些滤波器在通带内具有较好的平坦度，能够保证通过的信号频率成分较为稳定，在阻带内则具备良好的衰减性能，有效抑制频段外的干扰信号。椭圆带通滤波器的设计相对复杂，其频率响应特性可根据具体的设计参数进行调整，以满足不同应用场景对通带和阻带性能的要求。

（二）应用场景

图像处理
- 提取特定纹理：不同的纹理在图像中对应着不同的频率范围。带通滤波可用于提取特定纹理的信息。在遥感图像处理领域，例如对植被覆盖区域的图像进行分析时，植被的纹理信息通常集中在一定的频率范围内。通过设定合适的下限和上限截止频率，带通滤波能够提取出该区域植被的纹理特征，如树叶的排列纹理、植被群落的分布纹理等。这些纹理信息对于土地利用分类、植被生长状况监测等工作具有重要意义。例如，在森林资源调查中，利用带通滤波提取的植被纹理信息，可以判断森林的茂密程度、树种分布等情况，为森林资源的合理开发和保护提供依据。
通信系统
- 信道选择：在多信道通信系统中，如无线电通信，带通滤波器可用于选定特定的通信信道，仅允许该信道频率范围内的信号通过，抑制其他信道的干扰。以手机通信为例，手机的射频前端采用带通滤波器来选择特定频段的基站信号进行接收和发送。不同的通信运营商被分配了不同的频段资源，手机在通信过程中，通过带通滤波器精准地选择对应的频段，如中国移动的部分频段在 900MHz - 960MHz、1710MHz - 1785MHz 等范围，手机的带通滤波器能够有效滤除其他频段的信号干扰，确保与本运营商基站之间的稳定通信，实现语音通话、数据传输等功能。
生物医学信号处理
- 提取特定频段的生理信号：生物医学信号如脑电图（EEG）、心电图（ECG）等涵盖多种频率成分。带通滤波可用于提取特定频段的生理信号。在 EEG 信号处理中，例如通过带通滤波可以提取出 alpha 波（8 - 13Hz）频段的信号，该频段信号与大脑的放松状态密切相关。在神经科学研究中，研究人员通过对受试者在不同状态下（如休息、思考、睡眠等）的 EEG 信号进行带通滤波处理，提取 alpha 波信号并分析其特征，以探究大脑的神经活动规律、认知功能以及情绪状态等。同样，在 ECG 信号处理中，带通滤波可用于提取 QRS 波群（频率范围约为 5 - 15Hz）等特定频段的信号，用于诊断心脏疾病，如心律失常的检测、心肌缺血的判断等，为心血管疾病的临床诊断提供重要依据。

六、结论

傅里叶低通滤波、高通滤波与带通滤波作为基于傅里叶变换的关键信号处理方法，其原理是借助在频域对信号频率成分的选择性操作，达成对信号的多样化滤波成效。这些滤波技术在图像处理、通信系统、音频处理以及生物医学信号处理等众多领域均拥有广泛的应用，能够高效去除噪声、精准提取特征信息、有效分离信号成分等，为信号处理的各个环节提供了强有力的技术支撑。随着信号处理技术的持续演进，这些滤波方法也在不断革新与优化，以契合更为繁杂的应用需求，在未来的科技发展进程中必将继续发挥重要作用并展现出更为广阔的应用前景。

七、代码展示

% 1. 读取CSV文件
filename = 'test2.csv'; % 修改为你实际的CSV文件名
data_matrix = csvread(filename);

% 获取数据的行数和列数，这里假设数据是按列组织的时间序列（如果按行，需要相应调整下面操作）
[num_rows, num_cols] = size(data_matrix);

% 采样频率，这里假设为1（如果有实际的采样频率值，请替换此处），用于将归一化频率转换为实际频率
fs = 100e6; 

% 带通滤波的低频截止频率和高频截止频率，可根据实际需求调整
f_low = 0; % 低频截止频率，示例值，需根据实际情况设定
f_high = 0.01*fs; % 高频截止频率，示例值，需根据实际情况设定

% 用于存储各阶段图像句柄，方便后续调整布局等操作
subplot_handles_time_original = gobjects(num_cols, 1);
subplot_handles_freq_original = gobjects(num_cols, 1);
subplot_handles_freq_filtered = gobjects(num_cols, 1);
subplot_handles_time_inverse = gobjects(num_cols, 1);

% 组合原始时域信号和滤波逆变换后的时域信号，用于后续写入CSV文件
combined_signals = zeros(num_rows, 2 * num_cols);

% 对每一列数据分别进行处理
for col = 1:num_cols
    % 原始数据（假设是时域信号）
    original_signal = data_matrix(:, col);
    
    % 将原始时域信号存入组合矩阵
    combined_signals(:, 2 * col - 1) = original_signal;
    
    % 绘制原始时域图像
    subplot(4 * num_cols, 1, 4 * col - 3);
    subplot_handles_time_original(col) = plot(original_signal);
    title(['Column ', num2str(col), ' Original Signal (Time Domain)']);
    xlabel('Sample Index');
    ylabel('Amplitude');
    
    % 进行快速傅里叶变换（FFT），获取原始数据频域信息
    fft_result = fft(original_signal);
    % 获取频率轴，这里假设采样间隔为1（根据实际情况调整）
    N = length(original_signal);
    f = (0:N-1)*(fs / N); % 根据采样频率计算实际频率轴
    % 计算FFT结果的幅值（取单边频谱，准确获取单边频谱范围）
    fft_amplitude = abs(fft_result(1:floor((N + 1) / 2)));
    % 对幅值进行归一化处理，方便可视化对比（可选操作，根据实际需求调整）
    fft_amplitude = fft_amplitude / max(fft_amplitude);
    
    % 绘制原始频域图像
    subplot(4 * num_cols, 1, 4 * col - 2);
    subplot_handles_freq_original(col) = plot(f(1:floor((N + 1) / 2)), fft_amplitude);
    title(['Column ', num2str(col), ' Original Signal (Frequency Domain)']);
    xlabel('Frequency (Hz)');
    ylabel('Normalized Amplitude');
    
    % 带通滤波操作，根据给定的频率范围计算对应的索引范围
    idx_low = round(f_low / (fs / N)) + 1; % 低频截止频率对应的索引，加1是因为MATLAB索引从1开始
    idx_high = round(f_high / (fs / N)) + 1; % 高频截止频率对应的索引
    fft_result_filtered = fft_result;
    fft_result_filtered(1:idx_low - 1) = 0; % 将低频截止频率以下的频率成分置零
    fft_result_filtered(idx_high + 1:end) = 0; % 将高频截止频率以上的频率成分置零
    % 重新计算滤波后频域结果的幅值（取单边频谱，准确获取单边频谱范围）
    fft_amplitude_filtered = abs(fft_result_filtered(1:floor((N + 1) / 2)));
    fft_amplitude_filtered = fft_amplitude_filtered / max(fft_amplitude_filtered);
    
    % 绘制低频滤波后的频域图像
    subplot(4 * num_cols, 1, 4 * col - 1);
    subplot_handles_freq_filtered(col) = plot(f(1:floor((N + 1) / 2)), fft_amplitude_filtered);
    title(['Column ', num2str(col), ' Filtered Signal (Frequency Domain)']);
    xlabel('Frequency (Hz)');
    ylabel('Normalized Amplitude');
    
    % 进行逆快速傅里叶变换（IFFT）
    filtered_signal = ifft(fft_result_filtered);
    
    % 将滤波逆变换后的时域信号存入组合矩阵
    combined_signals(:, 2 * col) = real(filtered_signal); % 取实部，去除由于数值计算产生的极小虚部
    
    % 绘制逆变换后的时域图像
    subplot(4 * num_cols, 1, 4 * col);
    subplot_handles_time_inverse(col) = plot(real(filtered_signal));
    title(['Column ', num2str(col), ' Inverse Transformed Signal (Time Domain)']);
    xlabel('Sample Index');
    ylabel('Amplitude');
end
% 
% % 调整子图布局，让图像显示更合理
% linkaxes(subplot_handles_time_original, 'xy');
% linkaxes(subplot_handles_freq_original, 'xy');
% linkaxes(subplot_handles_freq_filtered, 'xy');
% linkaxes(subplot_handles_time_inverse, 'xy');
% suptitle('Original, Filtered and Inverse Transformed Signals in Time and Frequency Domains');

% % 将组合后的信号矩阵写入新的CSV文件，可根据实际情况修改文件名
% output_filename = 'filtered_noise.csv';
% csvwrite(output_filename, combined_signals);

效果图：