维数定理（手推！）：证明dim(v1)+dim(v2) = dim(v1+v2) + dim(v1∩v2)

网上看了很多相关的推导，基本大同小异，相关链接（https://www.cnblogs.com/wdfrog/p/8258417.html）
弄的模棱两可，这里自己手推一下，希望能弄的明白一点，在张凯院老师的矩阵论中的推导方法基本也是这样。重点是在于利用交空间

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证明dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1⋂V2)假设存在子空间 V1,V2则 V1⋂V2=L(z1,z2, ...,zk)=L(Z),表示子空间相交由由Z为基的向量集组成得V1=L(z1,z2, ...,zk,x1,x2, ...,xm)=L(Z,X)V2=L(z1,z2, ...,zk,y1,y2, ...,yn)=L(Z,Y)以上V1,V2,V1⋂V2之间的关系易得，不再说明(PS:X,Y可能不存在但X,Y,Z线性无关)综上：dim(V1)=len(Z)+len(X)dim(V2)=len(Z)+len(Y)dim(V1⋂V2)=len(Z)根据定义：V1 +V2={k1v1+k2v2∣v1∈V1,v2∈V2}即证明V1+V2=L(Z,X,Y)问题转换为向量集X,Y,Z线性无关，即证if k1x1+ ...+kmxm+p1y1+ ...+pnyn+q1z1+ ...+qkzk=0 then K=P=Q=0证明如下:k1x1+ ...+kmxm+q1z1+ ...+qkzk=−p1y1− ...−pnyn已知左式属于V1，则{−p1y1− ...−pnyn}∈V1⋂V2但从V2的定义已知Z,Y线性无关，得K=P=Q=0得证 \begin{aligned} & 证明dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V_1 \bigcap V_2) \hspace{20cm}\\ & 假设存在子空间\space V_1,V_2 \\ &则\space V_1 \bigcap V_2 = L(z_1,z_2,\space_{...},z_k)=L(Z),表示子空间相交由由Z为基的向量集组成\\ &得 \\ &V_1=L(z_1,z_2,\space_{...},z_k,x_1,x_2,\space_{...},x_m) = L(Z,X) \\ &V_2 = L(z_1,z_2,\space_{...},z_k,y_1,y_2,\space_{...},y_n)=L(Z,Y) \\ &以上V_1, V_2, V_1 \bigcap V_2 之间的关系易得，不再说明(PS:X,Y可能不存在但X,Y,Z线性无关) \\ & 综上：\\ & \hspace{6.5cm} dim(V_1) = len(Z)+len(X)\\ & \hspace{6.5cm} dim(V_2) = len(Z)+len(Y)\\ & \hspace{6.7cm} dim(V_1 \bigcap V_2) = len(Z) \\ & 根据定义：V_1 \space+ V_2 = \{k_1v_1+k_2v_2|v_1\in V_1,v_2\in V_2\} \\ &即证明 \\ & \hspace{6.7cm} V_1+V_2 = L(Z,X,Y) \\ & 问题转换为向量集X,Y,Z线性无关，即证\\ & \hspace{4.5cm} if \space k_1x_1+\space_{...}+k_mx_m+p_1y_1+\space_{...}+p_ny_n+q_1z_1+\space_{...}+q_kz_k=0 \space \\ & \hspace{7cm} then \space K=P=Q=0 \\ & 证明如下:\\ & \hspace{5cm} k_1x_1+\space_{...}+k_mx_m+q_1z_1+\space_{...}+q_kz_k = -p_1y_1-\space_{...}-p_ny_n \\ & 已知左式属于V_1，则\{-p_1y_1-\space_{...}-p_ny_n\} \in V_1 \bigcap V_2 \\ & 但从V_2 的定义已知 Z,Y线性无关， 得\\ & \hspace{7.25cm} K=P=Q=0 \\ & 得证 \end{aligned} ​证明dim(V1​)+dim(V2​)=dim(V1​+V2​)+dim(V1​⋂V2​)假设存在子空间 V1​,V2​则 V1​⋂V2​=L(z1​,z2​, ...​,zk​)=L(Z),表示子空间相交由由Z为基的向量集组成得V1​=L(z1​,z2​, ...​,zk​,x1​,x2​, ...​,xm​)=L(Z,X)V2​=L(z1​,z2​, ...​,zk​,y1​,y2​, ...​,yn​)=L(Z,Y)以上V1​,V2​,V1​⋂V2​之间的关系易得，不再说明(PS:X,Y可能不存在但X,Y,Z线性无关)综上：dim(V1​)=len(Z)+len(X)dim(V2​)=len(Z)+len(Y)dim(V1​⋂V2​)=len(Z)根据定义：V1​ +V2​={k1​v1​+k2​v2​∣v1​∈V1​,v2​∈V2​}即证明V1​+V2​=L(Z,X,Y)问题转换为向量集X,Y,Z线性无关，即证if k1​x1​+ ...​+km​xm​+p1​y1​+ ...​+pn​yn​+q1​z1​+ ...​+qk​zk​=0 then K=P=Q=0证明如下:k1​x1​+ ...​+km​xm​+q1​z1​+ ...​+qk​zk​=−p1​y1​− ...​−pn​yn​已知左式属于V1​，则{−p1​y1​− ...​−pn​yn​}∈V1​⋂V2​但从V2​的定义已知Z,Y线性无关，得K=P=Q=0得证​