离散数学代数系统基本概念

代数系统

二元运算： 设S是集合，函数f:SxS->S称为S上的二元运算，简称二元运算，也成S对f是封闭的
代数系统： 一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fn所组成的系统，称为一个代数系统，简称为代数，记为<A,f1,f2,…,fn>
幺元： 设o为S上的二元运算，如果存在el或er∈S，使得对任意x∈S，都有elox=x或者xoer=x，则称el或者er是S中关于o运算的左或者右单位元。若e∈S关于o运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于o运算的单位元，单位元也叫作幺元。例如0是整数集上关于加法运算的幺元
零元： 设o是S上的二元运算，如果存在θl或者θr∈S，使得θlox=θl或者xoθr=θr，则称θl或者θr是S关于o运算的左或者右零元。既是左零元又是右零元的θ称为零元。例如0是整数集上关于乘法运算的零元
逆元： 令e是S上关于o运算的幺元，对于x属于S，如果存在y∈S，使得xoy=e，则称y是x的逆元。例如-x是x在整数集上关于加法运算的逆元
半群： 设V=<S,o>是代数系统，o为二元运算，如果o运算是封闭的，可结合的，则称V是半群
交换半群： 如果半群V是关于o运算是可交换的，则称为交换半群
独异点： 若e∈S是关于o运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫作独异点，记做V=<S,o,e>
群： 设<G,o>是代数系统，o为二元运算，如果o运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G，则称G是群
充要条件： ①封闭②结合律③有幺元④每个元素有逆元
子群： 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记为H≤G，若H是G的子群，且H包含于G，则称H是G的真子群，记做H真包含于G
判定定理： 设G为群，H是G的非空子集，H是G的子群当且仅当任意x,y∈H，有xy-1∈H
生成子群： 设G为群，a∈G，令H={a^k|k∈Z}，则称H是G由a生成的子群，记做<a>
群G的中心： 设G为群，a∈G，令C={a|a∈G且一切x∈G有，ax=xa}，则称C是G的子群，称为G的中心
循环群： 设G是群，若存在a∈G，使得G={a^k|k∈Z}，则称G是循环群，记做G=<a>,称a为G的生成元
环： 设<R,+,->是代数系统，+和-是二元运算，如果满足以下条件
①<R,+>构成交换群②<R,->构成半群③·关于+运算适合分配律，则称<R,+,·>是一个环
格： 设<S,≤>是偏序集，如果对一切x,y∈S，(x,y)都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序集≤构成一个格