算法记录 | Day52 动态规划

300.最长递增子序列

思路：

1.dp[i]的定义:以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度。

2.状态转移方程:位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是要取dp[j] + 1的最大值。

3.初始化：每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1

4.遍历顺序：dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        if size <= 1:
            return size
        dp = [1 for _ in range(size)]
        
        for i in range(size):
            for j in range(i):
                if nums[i]>nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1)
        return max(dp)

674. 最长连续递增序列

思路：

1.dp[i]的定义:定义状态 dp[i] 表示为：以 nums[i] 结尾的最长且连续递增的子序列长度。

2. 状态转移方程

因为求解的是连续子序列，所以只需要考察相邻元素的状态转移方程。

如果一个较小的数右侧相邻元素为一个较大的数，则会形成一个更长的递增子序列。

对于相邻的数组元素 nums[i - 1] 和 nums[i] 来说：

• 如果 nums[i - 1] < nums[i]，则 nums[i] 可以接在 nums[i - 1] 后面，此时以 nums[i] 结尾的最长递增子序列长度会在「以 nums[i - 1] 结尾的最长递增子序列长度」的基础上加 1，即 dp[i] = dp[i - 1] + 1。
• 如果 nums[i - 1] >= nums[i]，则 nums[i] 不可以接在 nums[i - 1] 后面，可以直接跳过。

综上，状态转移方程为：dp[i] = dp[i - 1] + 1，nums[i - 1] < nums[i]。

3. 初始条件

默认状态下，把数组中的每个元素都作为长度为 1 的最长且连续递增的子序列长度。即 dp[i] = 1。

4.遍历顺序：dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历

5.举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

class Solution:
    def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:
        size = len(nums)
        if size <= 1:
            return size

        dp = [1 for _ in range(size)]

        for i in range(1,size):
            if nums[i-1] < nums[i]:
                dp[i] = dp[i-1] + 1
        return max(dp)

718. 最长重复子数组

思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j] （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

2.确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j] [j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]+ 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始

3.初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4.确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

5.举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

class Solution:
    def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        size1 = len(nums1)
        size2 = len(nums2)
        dp = [[0] * (size2 + 1) for _ in range(size1 + 1)]

        result = 0
        for i in range(1, size1+1):
            for j in range(1, size2+1):
                if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                result = max(result, dp[i][j])
        return result