levenshtein字符串编辑距离算法

字符串编辑距离

指的是字符串A向字符串B转换的最小步数。比如字符串“ABC”转换成“A”最少需要删除“B”,“C”两个字符。字符串操作有三种，一个是新增插入，一个是删除，一个是替换。该算法最早由 levenshtein提出。

从A字符串向B字符串转换，最重要的是考虑不要重复操作，比如 “abd”转换成“abcd”只需要插入一个“c”,而不用删去“d”再插入“cd”。这就要看Levenshtein Distance算法的思想了。

算法基本原理：假设我们可以使用d[ i , j ]个步骤，表示将串s[ 1…i ] 转换为串t [ 1…j ]所需要的最少步骤个数，在最基本的情况下，即在i等于0时，也就是说串s为空，那么对应的d[0,j] 就是至少增加j个字符，使得s转化为t。在j等于0时，也就是说串t为空，那么对应的d[i,0] 就是减少i个字符，使得s转化为t。

原理看起来复杂，其实就是规定了一个二维数组 d。d[i][j]表示长度为i的字符串S向长度为j的字符串T的编辑距离。那么我们知道，比如说字符串S =“abceh“要编辑成字符串T=“bbeh”,为了下标对应，我们可以设置一个二维数组d[5+1][4+1]。根据我们的设定，d[0][0]表示的就是长度为0的S（即为空）转换成长度为0的T（也为空），需要0步操作。表格如下：

黄色表格就是d[0][0]的值，橙色的是d[0][1]的值，表示的就是长度为0的S（即为空）转换成长度为1的T（即“b”），我们初始化的时候可以轻易算出表格上方，左方的所有步数。我们现在开始求d[1][1]（表格中？问号）的值，它表示的是长度为1的字符串S（即“a”）编辑成长度为1的字符串T（即“b“）的距离。我们可以轻易知道这个值最小是1，操作是替换，既不是新增插入，也不是删除。于是表格便成了：

我们的继续求下一个问号所在的步数d[1][2]。我们为什么要求这个从“a”转换成“bb”的步数呢？原因就是为了比较字符编辑时候，插入、删除、替换哪个操作是最优操作。比如这里，”a”转换成“bb”，刚刚我们已经求出了“a”转换成“b”的最短编辑距离是1（也就是d[1][1]），因此现在变成了求“b”到“bb”的最短编辑距离，因为字符串“a”在d[1][1]的时候已经被我们转换成“b”了。因此d[1][2]的值应该为d[1][1]+1。我们以此类推添加表格的第一行。

求第二行d[2][1]（也就是“ab”=>“b“）的时候，这里有一个注意的地方，就是对于“ab”=>“b”的情况，Levenshtein 是使用替换而不是删除操作，也就是把“a”替换成空字符。所以这里我们对字符“ab”的最优操作是把“a”替换成空字符，再拿“ b”与“b”比较。也就是d[2][1] = d[1][0]+(S[2-1]==T[1-1]?0:1) 这里S,T的下标记得-1，因为是取数组下标。所以我们得出结论：

1. d[m][n]步如果是新增，那么d[m][n] = d[m][n-1]+1。
2. d[m][n]步如果是删除，那么d[m][n] = d[m-1][n]+1。
3. d[m][n]步如果是替换，那么d[m][n] = d[m-1][n-1]+ (S[m -1] == T[n -1]?0:1)。
4. d[i][j]的最优解就是它上一步的最优解加上上面三步的最小值。

Levenshtein Distance算法的用最优解累加的方法求出最优编辑距离。这也是一种穷举的办法。PHP中就有levenshtein函数。我们现在自己实现一下这个算法的代码：

function countDistance($s,$t){
        $lens = strlen($s);
        $lent = strlen($t);
        if($lens == 0 ){
            return $lent;
        }
        if($lent == 0){
            return $lens;
        }
        $dp = array();
        for($i = 0; $i <= $lens; $i++){
            //初始化第0列
            $dp[$i][0] = $i;
        }
        for($j = 0;$j<= $lent;$j++){
            //初始化第0行
            $dp[0][$j] = $j;
        }

        for($i = 1;$i<= $lens;$i++){
            for($j =1;$j <= $lent;$j ++){
                //插入
                $insert = $dp[$i][$j-1] + 1;
                //删除
                $del = $dp[$i-1][$j]+1;
                //替换
                $modi = $dp[$i-1][$j-1] + ($s[$i -1] == $t[$j -1]?0:1);                
                $dp[$i][$j] = min($insert,$del,$modi);
            }
        }
        return $dp[$lens][$lent];
    }

我们上面简单的例子基本上实现了Levenshtein算法，当然还有两个缺点：

• 中文字符等操作的情况。
• 二维数组很占空间，比如2个1000字符的字符串，所需要的二维数组很庞大。需要改写。