树状数组 - 点更新、区间查询

树状数组基础

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于数组的单点修改&&区间求和.

另外一个拥有类似功能的是线段树.

 

具体区别和联系如下：

1.两者在复杂度上同级, 但是树状数组的常数明显优于线段树, 其编程复杂度也远小于线段树.

2.树状数组的作用被线段树完全涵盖, 凡是可以使用树状数组解决的问题, 使用线段树一定可以解决, 但是线段树能够解决的问题树状数组未必能够解决.

3.树状数组的突出特点是其编程的极端简洁性, 使用lowbit技术可以在很短的几步操作中完成树状数组的核心操作，其代码效率远高于线段树。

（以上部分摘自：bestsort）

 

上图是树状数组的结构，可以发现：

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现  C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

令lowbit=2^k

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

那么 C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

区间查询：

例如求区间[1,7]的值之和：

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ;   前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];   C[6]=A[5]+A[6];   C[7]=A[7];

可以推出:   sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

int sum(int x){
    int res=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        res+=c[i];
    }
    return res;
}

单点更新：

例如把点A[1]的值加m，要更改C[1],C[2],C[4],C[8]

(1) C[1]+=m

(1)+lowbit(1)=2  C[2]+=m

(10)+lowbit(2)=4  C[4]+=m

(100)+lowbit(4)=8  C[8]+=m

void add(int x){
    for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)){
        c[i]++;
    }
}

要注意的是：

1.树状数组的存储空间为O(N)，不像线段树要开N<<2的空间，因为它存的只有C[1],C[2],C[3],C[4]……C[N]。

2.树状数组从1开始存，因为0&(-0)=0无法进行更新。

一道模板题：

POJ2352 Stars

题意：有n颗星星，按“y轴从小到大，若y轴相等，按x轴从小到大”的规律给出，求出每个星星的的层数，层数的定义是“y坐标不超过该星星，且x坐标不超过该星星的星星个数”，输出在这个层数星星的个数

思路：由于星星给出的规则，当给出了i个星星时，y坐标大于yi的以及，y==yi&&x>xi的都没给出，而且也不参与星星的层数计算，给出的星星：y<=yi，所以只要找出x<=xi的星星个数就可以啦~

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=32010;
int c[N],num[N];
int lowbit(int i){
    return i&(-i);
}

int sum(int x){
    int res=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)){
        res+=c[i];
    }
    return res;
}

void add(int x){//x点加一
    for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)){
        c[i]++;
    }
}

int main(){
    int n,x,y;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x++;
        int level=sum(x);
        num[level]++;
        add(x);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        printf("%d\n",num[i]);
    }
}