计算几何之基础篇

向量

$\overrightarrow{AB}$表示一个从点A到点B的向量。

向量满足：

加法的交换性：$\vec a+\vec b = \vec b + \vec a$
加法的结合性：$(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)$
加法恒等式：$\vec 0 + \vec a = \vec a$
对于一个实数$k$，有$k\vec a$的方向与$\vec a$相同，$|k\vec a| = k|\vec a|$
对于任意一个向量$\vec X$，存在一个向量$-\vec X$(模相等，方向相反)使得$\vec X+(-\vec X)=0$
对于实数$r,s$，向量满足：
纯量乘法的结合性：$r(s\vec X)=(rs)\vec X$
纯量乘法的分配性：$(r+s)\vec X=r\vec X+s\vec X$
向量加法的分配性：$r(\vec X+\vec Y)=r\vec X+r\vec Y$

向量的坐标表示法：

对于两个维数相同的点$A(x_1,x_2,...,x_n)，B(y_1,y_2,...,y_n)，\overrightarrow{AB} = (y_1-x_1,y_2-x_2,...,y_n-x_n)$

向量加减法：

1°平行四边形法则。
2°对于两个维数相同的向量：它们的加(减)法得出的向量各坐标等于这两个向量各坐标分别相加(减)。

向量的模，即向量的长度：

对于向量$\vec a = (x_1,x_2,...,x_n),|\vec a| = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}x_i^2}$

向量乘法：

点积：

对于两个维数为$n$的向量$\vec a =(x_1,x_2,...,x_n),\vec b = (y_1,y_2,...,y_n)$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| cos\theta = \sum\limits_{i = 1}^{n}x_i y_i$
点积求出的是一个标量。

叉积：

二维向量$\vec a=(x_1,y_1),\vec b = (x_2,y_2),$$\vec a \times \vec b = x1y2-x2y1$
叉积求出的数值为以$\vec a,\vec b$为邻边的平行四边形的有向面积。常用叉积来计算三角形或平行四边形面积及判断两向量的相对方向（即向左拐或向右拐）。

向量的旋转：

向量逆时针旋转$\alpha$角度变成

两线段相交

判断两线段是否相交

已知两线段$P_1P_2,Q_1Q_2$
要求这两线段是否相交。

快速排斥试验

若两线段相交，则以这两线段为对角线分别作两个矩形，这两个矩形必须相交。这就是快速排斥试验。

跨立试验

若$P_1P_2$跨立$Q_1Q_2$，则矢量$(P_1-Q_1),(P_2-Q_1)$位于矢量$(Q_2-Q_1)$的两侧。即满足$(P_1-Q_1) \times(Q_2-Q_1) * (P_2-Q_1)\times(Q_2-Q_1) < 0$。若$(P_1-Q_1) \times(Q_2-Q_1) * (P_2-Q_1)\times(Q_2-Q_1) = 0$，说明$P_1或P_2$在直线$Q_1Q_2$上，但因为已通过快速排斥试验，所以这两线段是相交的。故上式可改写成 $(P_1-Q_1) \times(Q_2-Q_1) * (P_2-Q_1)\times(Q_2-Q_1) \le 0$
同理，若$Q_1Q_2$跨立$P_1P_2$，则要满足$(Q_1-P_1) \times (P_2-P_1) * (Q_2-P_1) \times (P_2-P_1) \le 0$
当$P_1P_2$跨立$Q_1Q_2$且$Q_1Q_2$跨立$P_1P_2$，跨立试验成功。

当快速排斥试验与跨立实验都成功时，这两条线段相交。

求两线段交点

由相似三角形、定比分点等知识我们可以得出两线段交点公式。套用向量乘法，我们能简便地求出两线段交点。

面积

三角形面积

公式很多，在此不赘述，用得较多的是叉积绝对值的一半。

多边形面积

选取多边形上一个顶点作为三角形的一个固定顶点，每次选取多边形上另外两个相邻顶点作为三角形的另外两个顶点，求三角形面积和。
也可看成每次选取多边形上两个相邻顶点，求前一个顶点与后一个顶点关于原点的有向面积和。证明显然。
一个$n$边形的面积公式：
$S = \frac{\sum\limits_{i = 1}^n(X_iY_{i+1}-X_{i+1}Y_i)}{2}$
（顶点按顺时针（或逆时针）排序后第$i$个顶点坐标$(X_i,Y_i)，X_{n+1}=X_1,Y_{n+1} = Y_1$)

凸包

平面上$N$个点，用一个最小（周长、面积）的凸多边形包住它们，使每个点落在凸多边形内或凸多边形上。

Graham扫描法

选择一个$x$坐标(相同情况下坐标)最小的点作为基点，使其他所有点落在第一、四象限上，然后进行极角排序，按逆时针插入其他点，用栈存储凸包上的点，插入时用叉积判断维护栈顶凸性。