算法之时间复杂度

1、时间复杂度分析有下面几个原则：

1）只关注循环执行次数最多的一段代码；

2）加法原则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。用公式表示即为：T1(n) = O(f(m))，T2(n) = O(g(n))，T1(n) + T2(m) = O(max(f(n), g(m)))；

3）乘法原则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘机。用公式表示即为：T1(n) = O(f(m))，T2(n) = O(g(n))，T1(n) * T2(m) = O(f(n) * g(m))

2、常见的时间复杂度有以下几种：

1）常量阶：O(1)

2）对数阶：O(logn)

3）线性阶：O(n)

4）线性对数阶：O(nlogn)

5）平方阶：O(n ^ 2)

6）指数阶：O(2 ^ n)

7）阶乘阶：O(n!)

其中，1）-5）为多项式量级；6）、7）为非多项式量级，所对应的算法问题被称为非确定多项式问题（NP 问题，Non-Deterministic Polynomial）。

3、常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)

n	logn	√n	nlogn	n²	2ⁿ	n!
5	2	2	10	25	32	120
10	3	3	30	100	1024	3628800
50	5	4	250	2500	约10^15	约3.0*10^64
100	6	10	600	10000	约10^30	约9.3*10^157
1000	9	31	9000	1000 000	约10^300	约4.0*10^2567

从上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )随着n的增加，复杂度提升不大，因此这些复杂度属于效率高的算法，反观O(2ⁿ)和O(n!)当n增加到50时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出现在程序中，因此在动手编程时要评估所写算法的最坏情况的复杂度。

4、示例代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int main()
{
    time_t c_start, c_end;
    unsigned long long n=100,sum=0;

    //线性阶
    c_start = clock();
    for(unsigned long long i=0;i<n;i++){
        sum++;
    }
	c_end   = clock();
	printf("[线性阶]运算次数：%lld，耗时： %f s \n",sum,difftime(c_end,c_start) / CLOCKS_PER_SEC);

	//对数阶
	c_start = clock();
	unsigned long long i=1;
	sum=0;
    while(i>0 && i<n){
        i=i*2;
        sum++;
    }
	c_end   = clock();
	printf("[对数阶]运算次数：%lld，耗时： %f s \n",sum,difftime(c_end,c_start) / CLOCKS_PER_SEC);

	//平方阶
    c_start = clock();
	sum=0;
    for(unsigned long long i=0;i<n;i++){
        for(unsigned long long j=0;j<n;j++){
            sum++;
        }
    }
	c_end   = clock();
	printf("[平方阶]运算次数：%lld，耗时： %f s \n",sum,difftime(c_end,c_start) / CLOCKS_PER_SEC);

	//立方阶
    c_start = clock();
	sum=0;
    for(unsigned long long i=0;i<n;i++){
        for(unsigned long long j=0;j<n;j++){
            for(unsigned long long k=0;k<n;k++){
                sum++;
            }
        }
    }
	c_end   = clock();
	printf("[立方阶]运算次数：%lld，耗时： %f s \n",sum,difftime(c_end,c_start) / CLOCKS_PER_SEC);

    //指数阶2^n
    c_start = clock();
    n=28;
	sum=0;
    for(unsigned long long i=0;i<(1<<n);i++){
        sum++;
    }
	c_end   = clock();
	printf("[指数阶2^n]运算次数：%lld，耗时： %f s \n",sum,difftime(c_end,c_start) / CLOCKS_PER_SEC);

    //阶乘阶n!
    c_start = clock();
    n=12;
	sum=0;
	unsigned long long multi=1;
	while(n>1){
        multi = multi*n;
        n--;
	}
    while(multi>0){
        sum++;
        multi--;
	}

	c_end   = clock();
	printf("[阶乘阶n!]运算次数：%lld，耗时： %f s \n",sum,difftime(c_end,c_start) / CLOCKS_PER_SEC);

    return 0;
}