Lattice原理及在通信中的应用 1 Lattice 基础

本文 largely based on Prof. Kschischang 和 Chen Feng 2014 年给的 tutorial。原 tutorial 的标题是 “An Introduction to Lattices and their Applications in Communications”. Slides 在网上可以下载到。

Lattice 基础

---

Notations

我们将使用的一些符号：
$\mathbb{R},\mathbb{C}$: 实数域和复数域。所谓域 (field) 是指一种可进行加减乘除(当然不能除以零之外，“零” 即加法单位元）运算的代数结构。如果域中元素个数有限，那就是有限域finite field.

$\mathbb{Z}$: 整数环 (ring)。所有的整数不构成域，因为整数的倒数一般不是整数。环 (ring) 是由集合R和定义于其上的两种二元运算（常被简称为加和乘，但与一般所说的加法和乘法不同）所构成的。

Xn={ (x1,x2,...,xn):x1,...xn∈X}X^n=\left\{(x_1,x_2,...,x_n):x_1,...x_n\in X\right\}Xn={ (x1​,x2​,...,xn​):x1​,...xn​∈X}: 一个set $X$ 自身的 $n$ 重笛卡儿积 ($n$-fold Cartesian product). 如果set $X$ 本身是一个域，那么 $X^n$ 的每一个元素都是一个行向量。简而言之就是把set $X$ 扩充到 $n$ 维。

$X^{m\times n}$: size 为 $m\times n$ 的矩阵，且每个元素都是从 $X$ 中选取的。所以上方 $n$ 重笛卡儿积的定义也可以写为 $X^{1\times n}$。本文中一般使用行向量 instead of 列向量。

$(G,+)$: 表示一个群，G∗=G \{ 0}G^*=G~\backslash\{0\}G∗=G \{ 0} 表示群 $G$ 除了加法单位元 $0$ 之外的所有元素的集合。Note: 群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，并且符合“群公理”: 封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。

---

Euclidean Space

我们把一个有限维的 Euclidean space 记作 ${\mathbb{R}}^n$. 对于${\mathbb{R}}^n$ 中的任意两个元素 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$，我们定义

1. 内积 inner product: $<\mathbf{x},\mathbf{y}>={\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$. 对应坐标元素相乘再相加, 内积为0时两个向量垂直;
2. 范数 norm: $\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{<\mathbf{x},\mathbf{x}>}$;
3. metric: $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$.
4. 令 $\mathcal{R}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个subset，那么 $\mathcal{R}$ 关于 $\mathbf{x}$ 的 translation 是把 $\mathcal{R}$ 平移 $\mathbf{x}$ 后得到的set, 即 x+R={ x+y,y∈R}\bm{x}+\mathcal{R}=\{\bm{x+y},\bm{y}\in\mathcal{R}\}x+R={ x+y,y∈R}.
5. Ball Br={ x∈Rn:∥x∥≤r}\mathcal{B}_r=\left\{\bm{x}\in\mathbb{R}^n:\|\bm{x}\|\leq r\right\}Br​={ x∈Rn:∥x∥≤r}，这是一个圆心在 origin 半径为 $r$ 的 $n$ 维球。

其中，$n$ 维球的体积为
V(Br)=πn/2Γ(n2+1)rnV(\mathcal{B}_r)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^nV(Br​)=