bzoj 3822: 文学动态规划

最新推荐文章于 2019-08-27 12:02:44 发布

lych_cys

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分类专栏： bzoj 文章标签：动态规划计算几何凸包差积

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/lych_cys/article/details/51383890

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该博客探讨了如何解决一个与半平面覆盖相关的计算几何问题，即以最小代价选择半平面覆盖所有给定点。通过特判和动态规划方法，以O(N^2)的时间复杂度找到解决方案。博主分享了AC代码，并提到了凸包和差积在问题解决中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目等价于平面上一些点，然后给定某些半平面，选某一个半平面有代价，求最小的代价使得选出的半平面的并包含所有给定的点。

同样，也等价于另一些半平面，其中每个半平面都和题中给出的互补，然后求最小的代价使选出的半平面的交不包含任意一个点。

特判一个半平面包含所有点的情况；那么剩下的就是求一个凸包不包含任何点，N^2枚举凸包上的一个点作为基点，然后令dp[i]为基点到i不包含任何点的最优解。显然按照极角排序后在凸包上的一个半平面覆盖的必定是一段区间，因此可以dp，预处理w[i][j]表示包含i~j的最小代价即可。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
#define N 105
using namespace std;

int n,m,cnt,a[N],b[N],c[N],d[N],f[N],w[N][N];
struct point{ double x,y; }o,p[N],q[N];
void dn(int &x,int y){ if (x>y) x=y; }
point operator -(point u,point v){
	u.x-=v.x; u.y-=v.y; return u;
}
double crs(point u,point v){ return u.x*v.y-u.y*v.x; }
bool cmp(const point &u,const point &v){
	return crs(u-o,v-o)<0;
}
bool isd(point t,int k){
	return t.x*a[k]+t.y*b[k]<=c[k];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m); int i,j,k,l,last,ans=inf;
	for (i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i],&d[i]);
	for (i=1; i<=m; i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
	for (i=1; i<=n; i++){
		for (j=1; j<=m; j++)
			if (!isd(p[j],i)) break;
		if (j>m) dn(ans,d[i]);
	}
	double fm,fz;
	for (i=2; i<=n; i++)
		for (j=1; j<i; j++) if (fm=(double)a[i]*b[j]-(double)a[j]*b[i]){
			for (k=1,cnt=0; k<=m; k++)
				if (!isd(p[k],i) && !isd(p[k],j)) q[++cnt]=p[k];
			if (!cnt){ dn(ans,d[i]+d[j]); continue; }
			memset(w,0x3f,sizeof(w)); memset(f,0x3f,sizeof(f));
			fz=(double)c[i]*b[j]-(double)c[j]*b[i];
			o.x=fz/fm; o.y=(c[i]-o.x*a[i])/b[i];
			sort(q+1,q+cnt+1,cmp);
			for (k=1; k<=n; k++) if (k!=i && k!=j){
				for (l=1,last=0; l<=cnt; l++)
					if (isd(q[l],k)){
						if (!last) last=l;
					} else
						if (last){
							dn(w[last][l-1],d[k]);
							last=0;
						}
				if (last) dn(w[last][cnt],d[k]);
			}
			for (k=1; k<=cnt; k++)
				for (l=2; l<=k; l++) dn(w[l][k],w[l-1][k]);
			f[0]=0;
			for (k=1; k<=cnt; k++)
				for (l=0; l<k; l++) dn(f[k],f[l]+w[l+1][k]);
			dn(ans,f[cnt]+d[i]+d[j]);
		}
	printf("%d\n",(ans<inf)?ans:-1);
	return 0;
}

by lych

2016.5.12