每日一题（三十八）：多重背包

最新推荐文章于 2025-07-27 19:21:47 发布

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本文介绍了一种解决多重背包问题的算法，通过将物品按数量拆分，转换为0-1背包问题，实现对有限资源下最大效益的计算。适用于如救灾物资分配等场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

为了挽救灾区同胞的生命，心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区，现在假设你一共有资金n元，而市场有m种大米，每种大米都是袋装产品，其价格不等，并且只能整袋购买。请问：你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢？

输入：

输入数据首先包含一个正整数C，表示有C组测试用例，每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类，然后是m行数据，每行包含3个数p，h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20)，分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。

输出：

对于每组测试数据，请输出能够购买大米的最多重量，你可以假设经费买不光所有的大米，并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。

样例输入：

样例输出：

/*
每个物品的总数量有所限制，即多重背包问题
对每种物品进行拆分，使物品数量大大减少，同时通过拆分后的物品间的组合又可以组合出所有物品数量的情况
*/
#include<stdio.h>
  

int max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

struct Rice {  
	int v;  //价格
	int w;  //重量
}list[2001];
int dp[101];

int main() {
	int T;
	scanf_s("%d", &T);
	while (T--) {
		int s, n;
		scanf_s("%d%d", &s, &n);
		int cnt = 0;  //拆分后物品总数

		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int v, w, k;
			scanf_s("%d%d%d", &v, &w, &k);
			int c = 1;
			while (k - c > 0) {  //对输入的数字k，拆分成1，2，4...k-2^c+1,其中c为使最后一项大于0的最大整数
				k -= c;
				list[++cnt].v = c * v;
				list[cnt].w = c * w; //拆分后的大米价格和重量均分为组成该物品的大米的价格重量和
				c *= 2;
			}
			list[++cnt].v = v * k;
			list[cnt].w = w * k;
		}
		for (int i = 1; i <= s; i++) {
			dp[i] = 0;
		}
		for (int i = 1; i <= cnt; i++) {//对拆分后的物品0-1背包
			for (int j = s; j >= list[i].v; j--) {
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - list[i].v] + list[i].w);
			}
		}
		printf("%d\n", dp[s]);
	}
    return 0;
}