中国剩余定理（孙子定理）

最新推荐文章于 2025-01-24 00:15:00 发布

陌辞寒_

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分类专栏：他山之石算法学习文章标签：算法扩展 ini

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他山之石

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我国有一本数学古书「孙子算经」有这样一道问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？」
　　
此题的意思是：有一批物品，三个三个地数，剩两个；五个五个地数，剩三个；七个七个地数，剩两个。问这批物品至少有多少个？
　　
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」
　　
这是解答。意思是2×70+3×21+2×15=233,233-105-105=23.
　　
后面是法则, 明代数学家程大位在其<算法统宗>里用口诀“:三人同行七十稀,五树梅花廿一,七子团圆月正半,除百零五便得知.”表达的。
　　
这个口诀的意思是：把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，结果若是比105大，就减去105的倍数，便得所求的数。
　　
这就是被称之为“中国剩余定理”。

中国剩余定理

设m1,m2,...,mk两两互质,则下面的同余方程组：
  x = a1 (mod m1)
  x = ak (mod mk)
.
.
.
  x = ak (mod mk)
在0<=x<M = m1*m2*...*mk内有唯一解。
记Mi = M / mi (1<=i<=k) ,因为(Mi,mi)=1,故有两整数pi，qi满足Mi*pi + mi*qi = 1，
如果记ei = Mi*pi ，那么有
ei = 0 (mod mj) , j<>i
= 1 (mod mj) , j==i

很显然，e1*a1 + e2*a2 + ... + ek*ak 就时方程组的一个解，
这个解%M后就得到了最小的非负整数解

求ei 我们就可以用扩展的欧几里得算法做。。。。

下面贴一个中国剩余定理的模板吧

C/C++代码:


#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long llong;
llong b[1000],w[1000];

llong extended_euclid(llong a, llong b, llong &x, llong  &y) {
    llong d;
    if(b == 0) {x = 1; y = 0; return a;}
    d = extended_euclid(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

llong chinese_remainder(int len) { 
    llong i, d, x, y, m, n, ret;
    ret = 0; n = 1; 
    for(i=0; i < len ;i++) n *= w[i];
    for(i=0; i < len ;i++) { 
        m = n / w[i];
        d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
        ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
    }
    return (n + ret%n) % n;
}

int main()
{
    int  n,i;
    llong res;
    while (scanf("%I64d",&n)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)  scanf("%I64d%I64d",&b[i],&w[i]);
        res=chinese_remainder(n);
        printf("%I64d/n",res);
    }
    return 0;
}